Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ? | MetMat

Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?

En restreignant le spectre aux racines d'un polynôme annulateur $Q$

Obtenir rapidement une liste finie de valeurs propres candidates à partir d'un polynôme annulateur $Q$ de $f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -ev $E$ vérifiant $f^2 = \mathrm{Id}_E$ . Restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

L'objectif

Obtenir rapidement une liste finie de valeurs propres candidates à partir d'un polynôme annulateur $Q$ de $f$ .

Le principe

Théorème : si $Q$ est un polynôme annulateur de $f$ (i.e. $Q(f) = 0$ ), alors $\mathrm{Sp}(f) \subset \{\text{racines de } Q\}$ .

La méthode

1
Je me donne (ou je construis) un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ non nul tel que $Q(f) = 0$ .
2
Je factorise $Q$ sur $\mathbb{R}$ pour en déterminer toutes les racines réelles $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ .
3
J'en conclus que $\mathrm{Sp}(f) \subset \{\lambda_1, \dots, \lambda_r\}$ , ce qui limite la recherche à ces valeurs.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -ev $E$ vérifiant $f^2 = \mathrm{Id}_E$ . Restreindre $\mathrm{Sp}(f)$ .

Étape 1 —

Je me donne (ou je construis) un polynôme

Q \in \mathbb{R}[X]

non nul tel que

Q(f) = 0

La relation $f^2 = \mathrm{Id}_E$ donne $f^2 - \mathrm{Id}_E = 0$ , donc $Q(X) = X^2 - 1$ annule $f$ .

Étape 2 —

Je factorise

Q

sur

\mathbb{R}

pour en déterminer toutes les racines réelles

\lambda_1, \dots, \lambda_r

On factorise $Q(X) = (X-1)(X+1)$ ; les racines réelles de $Q$ sont $1$ et $-1$ .

Étape 3 —

J'en conclus que

\mathrm{Sp}(f) \subset \{\lambda_1, \dots, \lambda_r\}

, ce qui limite la recherche à ces valeurs.

Donc $\mathrm{Sp}(f) \subset \{-1, 1\}$ .

$\mathrm{Sp}(f) \subset \{-1, 1\}$ .

Application guidée

Soit $p$ un projecteur d'un $\mathbb{R}$ -ev $E$ (i.e. $p \circ p = p$ ). Restreindre $\mathrm{Sp}(p)$ .

Application autonome 1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3 - A^2 - 6A = 0$ . Restreindre $\mathrm{Sp}(A)$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 + A - 6 I_n = 0$ . Restreindre $\mathrm{Sp}(A)$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^4 = A^2$ . Restreindre $\mathrm{Sp}(A)$ .

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