Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ? | MetMat

Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$

Produire explicitement un vecteur propre de $A$ associé à une valeur propre $\lambda$ donnée.

L'objectif

Produire explicitement un vecteur propre de $A$ associé à une valeur propre $\lambda$ donnée.

Le principe

Par définition, $X$ est vecteur propre associé à $\lambda$ si $X \neq 0$ et $AX = \lambda X$ , soit $(A - \lambda I_n) X = 0$ ; les vecteurs propres associés à $\lambda$ sont exactement les éléments non nuls de $\ker(A - \lambda I_n)$ .

La méthode

1
J'écris la matrice $A - \lambda I_n$ en soustrayant $\lambda$ à chaque coefficient diagonal de $A$ .
2
Je résous le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ par la méthode du pivot de Gauss ou par substitution.
3
Je décris l'ensemble des solutions sous forme paramétrée et j'en extrais un vecteur particulier non nul $X_0$ .
4
Je conclus que $X_0$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$ en rappelant que $X_0 \neq 0$ et $A X_0 = \lambda X_0$ .

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 5$ .

Étape 1 —

J'écris la matrice

A - \lambda I_n

en soustrayant

\lambda

à chaque coefficient diagonal de

A

On forme $A - 5 I_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je résous le système linéaire homogène

(A - \lambda I_n) X = 0

par la méthode du pivot de Gauss ou par substitution.

Le système $\begin{cases} -x + y = 0 \\ 2x - 2y = 0 \end{cases}$ se réduit à $y = x$ .

Étape 3 —

Je décris l'ensemble des solutions sous forme paramétrée et j'en extrais un vecteur particulier non nul

X_0

L'ensemble des solutions est $\{(t, t),\ t \in \mathbb{R}\}$ ; on prend $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je conclus que

X_0

est un vecteur propre de

A

associé à

\lambda

en rappelant que

X_0 \neq 0

A X_0 = \lambda X_0

On vérifie $A X_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 X_0$ , donc $X_0 = (1,1)$ est vecteur propre associé à $5$ .

Vecteur propre : $X_0 = (1, 1)$ .

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 2$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 0$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 2$ .

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En résolvant le système linéaire homogène (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0(A−λIn​)X=0

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En résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$