En écrivant $X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)$ par division euclidienne puis $A^n = R(A)$

L'objectif

Obtenir une expression close de $A^n$ via une division polynomiale et l'utilisation d'un annulateur.

Le principe

Soit $P_A$ un annulateur de $A$ de degré $d$ . La division euclidienne de $X^n$ par $P_A$ fournit $X^n = Q_n(X) P_A(X) + R_n(X)$ avec $\deg R_n < d$ ; en évaluant en $A$ et utilisant $P_A(A) = 0$ , on obtient $A^n = R_n(A)$ .

La méthode

1
Je choisis un polynôme annulateur $P_A$ de $A$ , de degré $d$ le plus petit possible, en notant ses racines (valeurs propres) $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ .
2
J'écris la forme du reste : $R_n(X) = r_{n,d-1} X^{d-1} + \dots + r_{n,0}$ .
3
Pour chaque racine $\lambda_i$ de $P_A$ , j'évalue $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ , ce qui donne un système linéaire dans les inconnues $r_{n,k}$ ; en cas de racine multiple, je dérive la relation.
4
Je résous ce système pour obtenir les $r_{n,k}$ puis $A^n = R_n(A) = r_{n,d-1} A^{d-1} + \dots + r_{n,0} I_n$ .

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Application guidée 1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(A - 2 I_n)(A + I_n) = 0$ . Calculer $A^n$ .

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(A - I_n)^2 = 0$ (racine double). Calculer $A^n$ .

Application autonome 1

Soit $A$ diagonalisable avec $\mathrm{Sp}(A) = \{0, 1, 3\}$ et $P_A(X) = X(X-1)(X-3)$ . Calculer $A^n$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Soit $A$ telle que $A^2 = 3A - 2I_n$ . Exprimer $A^n$ comme combinaison linéaire de $I_n$ et $A$ par division euclidienne.

Application autonome 3

Soit $A$ telle que $A^2 = I_n$ . Exprimer $A^n$ en fonction de $A$ et $I_n$ .

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En écrivant Xn=Q(X)PA(X)+R(X)X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)Xn=Q(X)PA​(X)+R(X) par division euclidienne puis An=R(A)A^n = R(A)An=R(A)

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En écrivant $X^n = Q(X) P_A(X) + R(X)$ par division euclidienne puis $A^n = R(A)$