En exhibant un polynôme annulateur dont les racines ne suffisent pas à saturer la dimension

L'objectif

Prouver la non-diagonalisabilité à partir d'une information polynomiale sur $f$ .

Le principe

Les valeurs propres de $f$ sont parmi les racines d'un polynôme annulateur $Q$ ; si la somme des dimensions des sous-espaces propres associés à ces racines est nécessairement inférieure à $\dim E$ , alors $f$ n'est pas diagonalisable.

La méthode

1
Je trouve un polynôme annulateur $Q$ de $f$ (donné ou calculé à partir d'une relation).
2
Je détermine les racines réelles de $Q$ : elles constituent la liste des valeurs propres possibles.
3
Je calcule (ou majore) $\dim E_\lambda(f)$ pour chaque racine $\lambda$ .
4
Si $\sum_\lambda \dim E_\lambda(f) < \dim E$ , je conclus que $f$ n'est pas diagonalisable.

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Application guidée 1

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $(A - I_3)^2 = 0$ et $A \neq I_3$ . Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $A^2 + I_2 = 0$ . Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable (sur $\mathbb{R}$ ).

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . En observant $(A - 2 I_3)^2 = 0$ , montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $(X-1)^2$ est annulateur, puis montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Application autonome 3

Soit $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Montrer que $X^3$ est annulateur puis que $N$ n'est pas diagonalisable.

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