Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$) ? | MetMat

Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$ ) ?

En vérifiant a posteriori que $A P = P D$

L'objectif

Valider l'égalité $D = P^{-1} A P$ sans avoir à inverser $P$ .

Le principe

L'égalité $D = P^{-1} A P$ équivaut à $A P = P D$ ; cette forme s'obtient en remarquant que chaque colonne $C_i$ de $P$ doit vérifier $A C_i = d_i C_i$ où $d_i$ est le $i$ -ème coefficient diagonal de $D$ .

La méthode

1
Je note $P = (C_1 \mid \dots \mid C_n)$ où chaque $C_i$ est supposé vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $d_i$ .
2
Je calcule $A P$ en effectuant les produits colonne par colonne : la $i$ -ème colonne de $A P$ est $A C_i$ .
3
Je calcule $P D$ : la $i$ -ème colonne de $P D$ est $d_i C_i$ .
4
Je compare les colonnes : si $A C_i = d_i C_i$ pour tout $i$ , alors $A P = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ (sous réserve que $P$ soit inversible).

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Application guidée 1

Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ diagonalisent $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ diagonalisent $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \mathrm{diag}(2, 2, 0)$ diagonalisent $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

On pose $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $AP = PD$ .

Application autonome 3

On pose $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Vérifier a posteriori que $AP = PD$ .

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En vérifiant a posteriori que AP=PDA P = P DAP=PD

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En vérifiant a posteriori que $A P = P D$