Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$) ? | MetMat

Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$ ) ?

En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former $P$ et $D$

L'objectif

Déterminer explicitement une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = P^{-1} A P$ .

Le principe

La matrice $P$ dont les colonnes constituent une base de vecteurs propres de $\mathbb{R}^n$ vérifie $A P = P D$ , où $D$ est diagonale avec les valeurs propres correspondantes dans le même ordre que les colonnes de $P$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est diagonalisable (critère des dimensions, des valeurs propres distinctes ou polynôme annulateur scindé à racines simples).
2
Je détermine le spectre $\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ et, pour chaque $\lambda_i$ , une base $(v_{i,1}, \dots, v_{i,m_i})$ de $E_{\lambda_i}(A)$ en résolvant $(A - \lambda_i I_n) X = 0$ .
3
Je concatène ces vecteurs en colonnes pour former $P$ , et je construis $D$ diagonale avec les valeurs propres $\lambda_i$ répétées $m_i$ fois dans le même ordre.
4
Je vérifie (facultatif mais sécurisant) que $A P = P D$ , ce qui équivaut à $D = P^{-1} A P$ .

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Application guidée 1

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Diagonaliser explicitement $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

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En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former PPP et DDD

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En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former $P$ et $D$