En lisant directement les coefficients diagonaux de la matrice

Déterminer l'ensemble des valeurs propres d'une matrice triangulaire sans calcul supplémentaire.

L'objectif

Déterminer l'ensemble des valeurs propres d'une matrice triangulaire sans calcul supplémentaire.

Le principe

Pour une matrice triangulaire $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , le spectre est exactement l'ensemble $\{t_{i,i},\ 1 \leq i \leq n\}$ des coefficients diagonaux.

La méthode

1
Je vérifie que la matrice $A$ est triangulaire (supérieure, inférieure ou diagonale) en contrôlant que tous les coefficients d'un côté de la diagonale sont nuls.
2
Je lis les coefficients diagonaux $a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}$ et j'écris $\mathrm{Sp}(A) = \{a_{1,1}, \dots, a_{n,n}\}$ en supprimant les doublons.
3
Je conclus en énumérant les valeurs propres distinctes, éventuellement avec leur multiplicité en tant que coefficient diagonal.

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Exercice d'exemple

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la matrice

A

est triangulaire (supérieure, inférieure ou diagonale) en contrôlant que tous les coefficients d'un côté de la diagonale sont nuls.

La matrice $A$ est triangulaire supérieure puisque tous les coefficients sous la diagonale sont nuls.

Étape 2 —

Je lis les coefficients diagonaux

a_{1,1}, a_{2,2}, \dots, a_{n,n}

et j'écris

\mathrm{Sp}(A) = \{a_{1,1}, \dots, a_{n,n}\}

en supprimant les doublons.

Les coefficients diagonaux sont $2$ , $3$ et $7$ , tous distincts.

Étape 3 —

Je conclus en énumérant les valeurs propres distinctes, éventuellement avec leur multiplicité en tant que coefficient diagonal.

Ainsi $\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3, 7\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3, 7\}$ .

Application guidée

Déterminer le spectre de $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Déterminer le spectre de $D = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Soit $T = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ . Déterminer $\mathrm{Sp}(T)$ .

Application autonome 3

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}$ .

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