Comment simuler une loi géométrique à partir d'une loi exponentielle et de la fonction floor ? | MetMat

Comment simuler une loi géométrique à partir d'une loi exponentielle et de la fonction floor ?

En simulant $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = -\ln(1-p)$ puis en renvoyant `int(np.floor(Y)) + 1`

Simuler $X\sim\mathcal{G}(p)$ en discrétisant une exponentielle bien choisie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simuler $X\sim\mathcal{G}(0{,}25)$ par la méthode exponentielle+floor et estimer $E(X)$ sur $N = 10^4$ tirages.

L'objectif

Simuler $X\sim\mathcal{G}(p)$ en discrétisant une exponentielle bien choisie.

Le principe

Si $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = -\ln(1-p)$ , alors $P(\lfloor Y \rfloor + 1 = k) = \mathrm{e}^{-\lambda(k-1)} - \mathrm{e}^{-\lambda k} = (1-p)^{k-1}p$ , ce qui est la loi $\mathcal{G}(p)$ .

La méthode

1
Je pose le paramètre p puis je calcule lam = -np.log(1 - p), de sorte que $\mathcal{E}(\lambda)$ discrétisée donne $\mathcal{G}(p)$ .
2
Je simule une exponentielle par inversion : Y = -np.log(rd.random()) / lam, qui suit $\mathcal{E}(\lambda)$ .
3
Je discrétise avec la fonction partie entière : X = int(np.floor(Y)) + 1 (le +1 garantit que $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb{N}^*$ ).
4
Je vérifie le calcul : $P(X = k) = P(k-1 \leq Y < k) = \mathrm{e}^{-\lambda(k-1)} - \mathrm{e}^{-\lambda k} = (1-p)^{k-1}p$ , c'est bien $\mathcal{G}(p)$ .
5
Pour simuler un échantillon, je vectorise : Y = -np.log(rd.random(N)) / lam puis X = np.floor(Y).astype(int) + 1.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simuler $X\sim\mathcal{G}(0{,}25)$ par la méthode exponentielle+floor et estimer $E(X)$ sur $N = 10^4$ tirages.

Étape 1 —

Je pose le paramètre p puis je calcule lam = -np.log(1 - p), de sorte que

\mathcal{E}(\lambda)

discrétisée donne

\mathcal{G}(p)

Je pose p = 0.25 puis `lam = -np.log(1 - 0.25) = -np.log(0.75) \approx 0{,}2877$.

Étape 2 —

Je simule une exponentielle par inversion : Y = -np.log(rd.random()) / lam, qui suit

\mathcal{E}(\lambda)

import numpy as np
import numpy.random as rd
p = 0.25
lam = -np.log(1 - p)
Y = -np.log(rd.random()) / lam

Étape 3 —

Je discrétise avec la fonction partie entière : X = int(np.floor(Y)) + 1 (le +1 garantit que

X

prend ses valeurs dans

\mathbb{N}^*

X = int(np.floor(Y)) + 1 donne une réalisation de $\mathcal{G}(0{,}25)$ .

Étape 4 —

Je vérifie le calcul :

P(X = k) = P(k-1 \leq Y < k) = \mathrm{e}^{-\lambda(k-1)} - \mathrm{e}^{-\lambda k} = (1-p)^{k-1}p

, c'est bien

\mathcal{G}(p)

Vérification : $P(X = 1) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 = p$ , conforme.

Étape 5 —

Pour simuler un échantillon, je vectorise : Y = -np.log(rd.random(N)) / lam puis X = np.floor(Y).astype(int) + 1.

Y = -np.log(rd.random(10**4)) / lam
X = np.floor(Y).astype(int) + 1
print(np.mean(X))

donne environ $4{,}0 \approx 1/p$ .

La moyenne empirique $\approx 4$ confirme $E(X) = 1/p = 4$ .

Application guidée

Comparer, pour $p = 0{,}1$ , la loi obtenue par discrétisation $\lfloor Y \rfloor + 1$ à la loi théorique $\mathcal{G}(0{,}1)$ via un histogramme.

Application autonome 1

Montrer que pour $p = 1/2$ , la méthode donne exactement la loi géométrique usuelle, en comparant l'espérance empirique à $2$ .

Application autonome 2

Simuler $X \sim \mathcal{G}(0{,}3)$ par la méthode exponentielle + floor et estimer $P(X \leq 5)$ sur $N = 10^4$ tirages.

Application autonome 3

Vérifier numériquement que $E(X) \approx 1/p$ pour $X \sim \mathcal{G}(0{,}4)$ simulée par la méthode exponentielle + floor, $N = 10^5$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En simulant Y∼E(λ)Y\sim\mathcal{E}(\lambda)Y∼E(λ) avec λ=−ln⁡(1−p)\lambda = -\ln(1-p)λ=−ln(1−p) puis en renvoyant int(np.floor(Y)) + 1

Pour comprendre, fais des exercices !

En simulant $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = -\ln(1-p)$ puis en renvoyant `int(np.floor(Y)) + 1`