Comment représenter le graphe 3D et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ? | MetMat

Comment représenter le graphe 3D et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?

En générant un `np.meshgrid` puis en appelant `ax.plot_surface(X, Y, Z)` et `plt.contour(X, Y, Z)`

Visualiser une fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ par son graphe 3D et par ses lignes de niveau dans le plan.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Représenter $f(x,y) = x^2 + y^2$ sur $[-2,2]^2$ en 3D et ses courbes de niveau.

L'objectif

Visualiser une fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ par son graphe 3D et par ses lignes de niveau dans le plan.

Le principe

np.meshgrid(x, y) produit deux matrices $X, Y$ représentant la grille du rectangle $[a,b]\times[c,d]$ ; ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis') dessine la surface $z=f(x,y)$ et plt.contour(X, Y, Z, levels) les courbes $\{f=c\}$ .

La méthode

1
Je crée les axes de discrétisation x = np.linspace(a, b, 100) et y = np.linspace(c, d, 100), puis la grille X, Y = np.meshgrid(x, y).
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J'évalue vectoriellement la fonction : Z = f(X, Y), par exemple Z = X**2 + Y**2 pour $f(x,y) = x^2+y^2$ .
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Pour le graphe 3D : from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D, puis fig = plt.figure(), ax = fig.add_subplot(111, projection='3d'), ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis').
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Pour les lignes de niveau : sur une nouvelle figure, plt.contour(X, Y, Z, levels=10) puis plt.clabel(cs) pour afficher les valeurs des niveaux, ou plt.contourf pour remplir.
5
J'ajoute les légendes ax.set_xlabel('x'), ax.set_ylabel('y'), ax.set_zlabel('z') et je clos par plt.show().

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Représenter $f(x,y) = x^2 + y^2$ sur $[-2,2]^2$ en 3D et ses courbes de niveau.

Étape 1 —

Je crée les axes de discrétisation x = np.linspace(a, b, 100) et y = np.linspace(c, d, 100), puis la grille X, Y = np.meshgrid(x, y).

Je saisis x = np.linspace(-2, 2, 100), y = np.linspace(-2, 2, 100), X, Y = np.meshgrid(x, y).

Étape 2 —

J'évalue vectoriellement la fonction : Z = f(X, Y), par exemple Z = X**2 + Y**2 pour

f(x,y) = x^2+y^2

Z = X**2 + Y**2 calcule $f$ en chaque nœud de la grille.

Étape 3 —

Pour le graphe 3D : from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D, puis fig = plt.figure(), ax = fig.add_subplot(111, projection='3d'), ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis').

Je lance ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis') : j'obtiens un paraboloïde de révolution centré en l'origine.

Étape 4 —

Pour les lignes de niveau : sur une nouvelle figure, plt.contour(X, Y, Z, levels=10) puis plt.clabel(cs) pour afficher les valeurs des niveaux, ou plt.contourf pour remplir.

Sur une nouvelle figure, plt.contour(X, Y, Z, levels=[0.5, 1, 2, 4]) trace des cercles concentriques $x^2 + y^2 = c$ .

Étape 5 —

J'ajoute les légendes ax.set_xlabel('x'), ax.set_ylabel('y'), ax.set_zlabel('z') et je clos par plt.show().

Je légende (xlabel, ylabel, titre f(x,y) = x²+y²) et j'affiche via plt.show().

Le graphe est un paraboloïde et les lignes de niveau sont des cercles centrés en $O$ de rayon $\sqrt{c}$ .

Application guidée

Représenter $f(x,y) = x^2 - y^2$ sur $[-2,2]^2$ : surface et lignes de niveau (selle).

Application autonome 1

Représenter $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$ sur $[-\pi, \pi]^2$ : surface 3D et niveaux.

Application autonome 2

Écrire un script Python qui trace la surface représentative de $f(x,y) = x^2 + y^2$ sur $[-2,2]^2$ ainsi que ses lignes de niveau.

Application autonome 3

Tracer à l'aide de numpy et matplotlib la surface de $f(x,y) = x^2 - y^2$ sur $[-1,1]^2$ puis ses lignes de niveau.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En générant un np.meshgrid puis en appelant ax.plot_surface(X, Y, Z) et plt.contour(X, Y, Z)

Pour comprendre, fais des exercices !

En générant un `np.meshgrid` puis en appelant `ax.plot_surface(X, Y, Z)` et `plt.contour(X, Y, Z)`