Comment calculer la covariance et le coefficient de corrélation empiriques d'une série double avec numpy ? | MetMat

Comment calculer la covariance et le coefficient de corrélation empiriques d'une série double avec numpy ?

En calculant `np.cov(x, y, ddof=0)[0,1]` et `np.corrcoef(x, y)[0,1]`, puis en vérifiant à la main

Obtenir la covariance empirique et le coefficient de corrélation linéaire d'une série double.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la covariance et le coefficient de corrélation des séries $x = [1,2,3,4,5]$ et $y = [2,4,6,8,10]$ .

L'objectif

Obtenir la covariance empirique et le coefficient de corrélation linéaire d'une série double.

Le principe

La covariance empirique vaut $\mathrm{Cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ et le coefficient de corrélation $\rho(x,y) = \mathrm{Cov}(x,y)/(\sigma_x\sigma_y)$ , avec $\rho\in[-1,1]$ .

La méthode

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Je charge les données dans deux tableaux x et y de même longueur, et je vérifie len(x) == len(y).
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Je saisis cov = np.cov(x, y, ddof=0)[0, 1] pour obtenir la covariance empirique (le paramètre ddof=0 assure le diviseur $n$ et non $n-1$ ).
Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?Voir
3
Je saisis r = np.corrcoef(x, y)[0, 1] pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire, automatiquement dans $[-1,1]$ .
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Pour vérifier, je recalcule à la main : xm, ym = np.mean(x), np.mean(y), cov_manuel = np.mean((x - xm) * (y - ym)), r_manuel = cov_manuel / (np.std(x) * np.std(y)).
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J'interprète le résultat : $|\rho|$ proche de $1$ signale une forte dépendance linéaire, et le signe de $\rho$ donne le sens de variation conjointe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la covariance et le coefficient de corrélation des séries $x = [1,2,3,4,5]$ et $y = [2,4,6,8,10]$ .

Étape 1 —

Je charge les données dans deux tableaux x et y de même longueur, et je vérifie len(x) == len(y).

J'écris x = np.array([1,2,3,4,5]) et y = np.array([2,4,6,8,10]), tous deux de longueur $5$ .

Étape 2 —

Je saisis cov = np.cov(x, y, ddof=0)[0, 1] pour obtenir la covariance empirique (le paramètre ddof=0 assure le diviseur

n

et non

n-1

cov = np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] renvoie $4{,}0$ .

Étape 3 —

Je saisis r = np.corrcoef(x, y)[0, 1] pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire, automatiquement dans

[-1,1]

r = np.corrcoef(x, y)[0,1] renvoie $1{,}0$ .

Étape 4 —

Pour vérifier, je recalcule à la main : xm, ym = np.mean(x), np.mean(y), cov_manuel = np.mean((x - xm) * (y - ym)), r_manuel = cov_manuel / (np.std(x) * np.std(y)).

Vérification : $\bar x = 3$ , $\bar y = 6$ , et $(x_i-3)(y_i-6) = (-2)(-4), (-1)(-2), 0, 1\cdot 2, 2\cdot 4 = 8,2,0,2,8$ , somme $20$ , divisée par $5$ donne $4$ . Le produit $\sigma_x \sigma_y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = 4$ , donc $r = 4/4 = 1$ .

Étape 5 —

J'interprète le résultat :

|\rho|

proche de

1

signale une forte dépendance linéaire, et le signe de

\rho

donne le sens de variation conjointe.

Le coefficient vaut exactement $1$ : corrélation linéaire parfaite, cohérent avec $y = 2x$ .

$\mathrm{Cov}(x,y)=4$ et $\rho(x,y)=1$ .

Application guidée

On observe $x = [1,2,3,4,5,6]$ (heures d'étude) et $y = [10,8,7,5,4,2]$ (note d'erreur). Calculer covariance et corrélation.

Application autonome 1

On simule $x = \mathtt{np.random.randn(1000)}$ et $y = \mathtt{np.random.randn(1000)}$ indépendants. Calculer $\rho$ empirique.

Application autonome 2

On observe $x = [2, 4, 6, 8, 10]$ et $y = [1, 3, 5, 7, 9]$ . Calculer covariance et corrélation empiriques puis vérifier $\rho = 1$ .

Application autonome 3

On simule x = rd.randn(500) et on pose y = 2*x + rd.randn(500). Estimer numériquement $\mathrm{Cov}(x,y)$ et $\rho(x,y)$ attendus.

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En calculant np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] et np.corrcoef(x, y)[0,1], puis en vérifiant à la main

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant `np.cov(x, y, ddof=0)[0,1]` et `np.corrcoef(x, y)[0,1]`, puis en vérifiant à la main