Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ? | MetMat

Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?

En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur $M$ jeux de données simulés

L'objectif

Comparer numériquement deux estimateurs ponctuels d'un paramètre $\theta$ via leur biais et leur variance.

Le principe

Par la LFGN, sur $M$ réalisations indépendantes, $\frac{1}{M}\sum_j T_n^{(j)} \to E_\theta(T_n)$ et la variance empirique converge vers $V_\theta(T_n)$ ; l'erreur quadratique moyenne $\mathrm{EQM}(T_n) = V_\theta(T_n) + (E_\theta(T_n)-\theta)^2$ permet de classer les estimateurs.

La méthode

1
Je fixe la vraie valeur $\theta$ , la taille d'échantillon $n$ , le nombre de répétitions $M$ (par exemple $M=10^4$ ) et je simule en matrice Y = rd.xxx(size=(M, n)).
2
Je calcule les $M$ valeurs des deux estimateurs avec des opérations vectorielles sur l'axe des colonnes, par exemple T1 = Y.mean(axis=1) et T2 = Y.max(axis=1) (+ correction éventuelle).
3
Pour chaque estimateur, j'estime le biais par biais = T.mean() - theta et la variance par var = T.var(ddof=1), puis l'EQM par biais**2 + var.
4
Je compare les deux EQM et j'ajoute éventuellement deux histogrammes des $(T^{(j)})_j$ avec plt.hist(T1,...) et plt.hist(T2,...) pour visualiser la dispersion.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,\theta]$ avec $\theta=2$ et $n=20$ , comparer $T_1 = 2\bar X_n$ et $T_2 = \frac{n+1}{n}\max(X_i)$ sur $M=10^4$ répétitions.

Application guidée 2

Pour $X_i\sim\mathcal{N}(m,1)$ avec $m=3$ et $n=30$ , comparer $\bar X_n$ à la médiane empirique sur $M=5000$ répétitions.

Application autonome 1

Pour $X_i\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda=2$ et $n=50$ , comparer $\hat\lambda_1 = 1/\bar X_n$ et $\hat\lambda_2 = (n-1)/\sum X_i$ sur $M=10^4$ répétitions.

Application autonome 2

Pour $X_i \sim \mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda = 4$ et $n = 25$ , comparer $T_1 = \overline{X}_n$ et $T_2 = S_n^2 = \tfrac{1}{n}\sum(X_i - \overline{X}_n)^2$ comme estimateurs de $\lambda$ sur $M = 10^4$ répétitions.

Application autonome 3

Pour $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p = 0{,}3$ et $n = 50$ , comparer $\overline{X}_n$ et $T_n = (X_1 + X_n)/2$ sur $M = 10^4$ répétitions.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur MMM jeux de données simulés

Évalue la méthode

En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur $M$ jeux de données simulés