Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ? | MetMat

Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?

En estimant $P(A)$ par la fréquence empirique $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbf{1}_A(\omega_i)$

L'objectif

Estimer $p = P(A)$ par Monte-Carlo et en donner un intervalle de confiance asymptotique.

Le principe

Si $\mathbf{1}_A(\omega_1),\dots,\mathbf{1}_A(\omega_N)$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ , la LFGN donne $\hat p_N = \frac{1}{N}\sum_i \mathbf{1}_A(\omega_i)\xrightarrow{P} p$ ; le TLC fournit un IC asymptotique $[\hat p_N \pm u_{1-\alpha/2}\sqrt{\hat p_N(1-\hat p_N)/N}]$ .

La méthode

1
J'identifie l'évènement $A$ en termes des variables simulables et je traduis l'indicatrice $\mathbf{1}_A$ en un booléen numpy (par exemple Z > 1.96).
2
Je simule $N$ réalisations vectorielles en une fois avec rd.xxx(size=N) puis je calcule le tableau booléen ind = (condition).
3
J'estime $\hat p_N =$ np.mean(ind) : comme True vaut $1$ et False vaut $0$ , la moyenne est la fréquence empirique.
4
Je calcule un IC asymptotique à $95\%$ par demi = 1.96 * np.sqrt(p_hat*(1-p_hat)/N) et j'affiche $[\hat p_N - \text{demi}, \hat p_N + \text{demi}]$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Estimer $p = P(Z > 1.96)$ avec $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ par Monte-Carlo, $N=10^5$ (valeur attendue $\approx 0.025$ ).

Application guidée 2

Estimer $P(X+Y \geq 2)$ pour $X,Y$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ , $N=10^5$ .

Application autonome 1

Estimer la probabilité qu'une marche aléatoire symétrique de $100$ pas atteigne $10$ en valeur absolue.

Application autonome 2

Estimer par Monte-Carlo $p = P(X + Y \geq 3)$ où $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ et $Y \sim \mathcal{U}([0,2])$ indépendantes, avec $N = 10^5$ .

Application autonome 3

Estimer $P(\max(X_1, X_2, X_3) \leq 0{,}8)$ où $X_i \sim \mathcal{U}([0,1])$ i.i.d., avec $N = 10^5$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En estimant P(A)P(A)P(A) par la fréquence empirique 1N∑i=1N1A(ωi)\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbf{1}_A(\omega_i)N1​∑i=1N​1A​(ωi​)

Évalue la méthode

En estimant $P(A)$ par la fréquence empirique $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbf{1}_A(\omega_i)$