Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ? | MetMat

Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?

En écrivant $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t = (b-a)\,E(g(U))$ avec $U\sim\mathcal{U}[a,b]$ puis en moyennant

Estimer $I = \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ par Monte-Carlo en tirant uniformément sur $[a,b]$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Estimer $I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ par Monte-Carlo avec $N=10^5$ (valeur exacte $\approx 0.7468$ ).

L'objectif

Estimer $I = \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ par Monte-Carlo en tirant uniformément sur $[a,b]$ .

Le principe

Si $U\sim\mathcal{U}[a,b]$ de densité $\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}$ , alors par le théorème de transfert $E(g(U)) = \frac{1}{b-a}\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ , donc $I = (b-a)E(g(U))$ ; on approche $I$ par $\hat I_N = \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N g(U_i)$ .

La méthode

1
J'identifie les bornes $a, b$ et la fonction $g$ : je vérifie que $g$ est continue (ou au moins intégrable) sur $[a,b]$ et que $a, b$ sont finis.
2
Je simule $N$ uniformes sur $[a,b]$ via U = a + (b - a) * rd.random(N) (ou rd.uniform(a, b, N)).
3
Je calcule l'image G = g(U) et l'estimation I_hat = (b - a) * np.mean(G).
4
Je fournis un IC asymptotique : sig = np.std(G, ddof=1) puis $[\hat I_N \pm 1.96\,(b-a)\hat\sigma/\sqrt N]$ , et je compare à la valeur exacte si disponible.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Estimer $I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ par Monte-Carlo avec $N=10^5$ (valeur exacte $\approx 0.7468$ ).

Étape 1 —

J'identifie les bornes

a, b

et la fonction

g

: je vérifie que

g

est continue (ou au moins intégrable) sur

[a,b]

et que

a, b

sont finis.

import numpy as np, numpy.random as rd
N = 10**5
a, b = 0, 1

Étape 2 —

Je simule

N

uniformes sur

[a,b]

via U = a + (b - a) * rd.random(N) (ou rd.uniform(a, b, N)).

U = rd.random(N)

Étape 3 —

Je calcule l'image G = g(U) et l'estimation I_hat = (b - a) * np.mean(G).

G = np.exp(-U**2)
I_hat = (b - a) * G.mean()
print(I_hat)

Étape 4 —

Je fournis un IC asymptotique : sig = np.std(G, ddof=1) puis

[\hat I_N \pm 1.96\,(b-a)\hat\sigma/\sqrt N]

, et je compare à la valeur exacte si disponible.

sig = G.std(ddof=1)
print([I_hat - 1.96*(b-a)*sig/np.sqrt(N), I_hat + 1.96*(b-a)*sig/np.sqrt(N)])

$\hat I_N \approx 0.7468$ , en accord avec la valeur tabulée.

Application guidée

Estimer $\int_0^{\pi} \sin(t)\,\mathrm{d}t$ par Monte-Carlo, $N=10^5$ (valeur exacte $2$ ).

Application autonome 1

Estimer $\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t$ et en déduire une approximation de $\pi$ , $N=10^5$ (valeur exacte $\pi/4$ ).

Application autonome 2

Estimer par Monte-Carlo l'intégrale $I = \int_0^{\pi/2} \sin^2(t)\,\mathrm{d}t$ avec $M = 10^5$ réalisations d'une loi uniforme sur $[0, \pi/2]$ . En déduire une approximation de $\pi$ .

Application autonome 3

Estimer par Monte-Carlo $I = \int_2^5 e^{-t/2}\,\mathrm{d}t$ avec $M = 10^4$ tirages.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En écrivant ∫abg(t) dt=(b−a) E(g(U))\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t = (b-a)\,E(g(U))∫ab​g(t)dt=(b−a)E(g(U)) avec U∼U[a,b]U\sim\mathcal{U}[a,b]U∼U[a,b] puis en moyennant

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t = (b-a)\,E(g(U))$ avec $U\sim\mathcal{U}[a,b]$ puis en moyennant