Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ? | MetMat

Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?

En estimant $E(g(X))$ par la moyenne empirique $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(X_i)$

L'objectif

Estimer $E(g(X))$ par Monte-Carlo avec une garantie d'erreur via IC asymptotique.

Le principe

Si $X_1,\dots,X_N$ sont i.i.d. de même loi que $X$ avec $E(g(X)^2)<+\infty$ , alors $\hat\mu_N = \frac{1}{N}\sum_i g(X_i)\xrightarrow{P} E(g(X))$ (LFGN) et le TLC donne une demi-largeur d'IC asymptotique $u_{1-\alpha/2}\hat\sigma/\sqrt N$ .

La méthode

1
Je simule vectoriellement un échantillon de $X$ : X = rd.xxx(size=N) avec $N$ grand (typiquement $10^4$ ou $10^5$ ).
2
Je calcule le tableau G = g(X) grâce aux fonctions vectorisées de numpy (np.exp, np.cos, X**2, etc.).
3
J'estime l'espérance par mu_hat = np.mean(G) et l'écart-type empirique par sigma_hat = np.std(G, ddof=1).
4
Je construis l'IC asymptotique $[\hat\mu_N \pm 1.96\,\hat\sigma/\sqrt N]$ et je compare à la valeur théorique si connue.

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Application guidée 1

Estimer $E(\cos(X))$ pour $X\sim\mathcal{U}[0,1]$ par Monte-Carlo, $N=10^5$ (valeur exacte $\sin(1)\approx 0.8415$ ).

Application guidée 2

Estimer $E(X^2)$ pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ par Monte-Carlo, $N=10^5$ (valeur exacte $1$ ).

Application autonome 1

Estimer $E(\max(X, Y))$ pour $X,Y\sim\mathcal{U}[0,1]$ i.i.d., $N=10^5$ (valeur exacte $2/3$ ).

Application autonome 2

Estimer $E(e^{-X})$ pour $X \sim \mathcal{E}(1)$ par Monte-Carlo, $N = 10^5$ . Valeur exacte $1/2$ .

Application autonome 3

Estimer $P(X^2 + Y^2 \leq 1)$ pour $X, Y \sim \mathcal{U}([-1, 1])$ i.i.d. par Monte-Carlo, $N = 10^5$ . En déduire une estimation de $\pi$ .

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En estimant E(g(X))E(g(X))E(g(X)) par la moyenne empirique 1N∑i=1Ng(Xi)\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(X_i)N1​∑i=1N​g(Xi​)

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En estimant $E(g(X))$ par la moyenne empirique $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(X_i)$