Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ? | MetMat

Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ?

En traçant l'histogramme de $(S_n-nm)/(\sigma\sqrt{n})$ sur $M$ répétitions et en le comparant à $\mathcal{N}(0,1)$

Visualiser la convergence en loi $(S_n-nm)/(\sigma\sqrt n)\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Illustrer le TLC sur des $X_i\sim\mathcal{B}(1, 0.5)$ : $m=0.5$ , $\sigma=0.5$ , avec $n=100$ , $M=10^4$ .

L'objectif

Visualiser la convergence en loi $(S_n-nm)/(\sigma\sqrt n)\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

Le principe

Théorème limite central : si les $X_i$ sont i.i.d. avec $E(X)=m$ et $V(X)=\sigma^2>0$ , alors $Z_n = (S_n-nm)/(\sigma\sqrt n)\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; sur $M$ répétitions indépendantes, l'histogramme normalisé de $Z_n$ approche la densité $\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-t^2/2}$ pour $n$ grand.

La méthode

1
Je fixe $n$ (la taille de chaque somme), $M$ (le nombre de répétitions, typiquement $10^4$ ) et je note $m$ et $\sigma$ connus de la loi choisie.
2
Je simule en matrice Y = rd.xxx(size=(M, n)) puis je somme selon l'axe des colonnes : S = Y.sum(axis=1), obtenant $M$ réalisations indépendantes de $S_n$ .
3
Je standardise avec Z = (S - n*m) / (sigma * np.sqrt(n)) pour obtenir les valeurs centrées-réduites.
4
Je trace plt.hist(Z, bins=60, density=True) et je superpose la densité $\varphi$ : t = np.linspace(-4,4,500) puis plt.plot(t, np.exp(-t**2/2)/np.sqrt(2*np.pi), 'r') ; je commente la qualité de l'approximation selon $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Illustrer le TLC sur des $X_i\sim\mathcal{B}(1, 0.5)$ : $m=0.5$ , $\sigma=0.5$ , avec $n=100$ , $M=10^4$ .

Étape 1 —

Je fixe

n

(la taille de chaque somme),

M

(le nombre de répétitions, typiquement

10^4

) et je note

m

\sigma

connus de la loi choisie.

import numpy as np, numpy.random as rd, matplotlib.pyplot as plt
n, M, m, sig = 100, 10**4, 0.5, 0.5

Étape 2 —

Je simule en matrice Y = rd.xxx(size=(M, n)) puis je somme selon l'axe des colonnes : S = Y.sum(axis=1), obtenant

M

réalisations indépendantes de

S_n

Y = rd.binomial(1, 0.5, size=(M, n))
S = Y.sum(axis=1)

Étape 3 —

Je standardise avec Z = (S - n*m) / (sigma * np.sqrt(n)) pour obtenir les valeurs centrées-réduites.

Z = (S - n*m) / (sig * np.sqrt(n))

Étape 4 —

Je trace plt.hist(Z, bins=60, density=True) et je superpose la densité

\varphi

: t = np.linspace(-4,4,500) puis plt.plot(t, np.exp(-t**2/2)/np.sqrt(2*np.pi), 'r') ; je commente la qualité de l'approximation selon

n

plt.hist(Z, bins=60, density=True, alpha=0.6)
t = np.linspace(-4, 4, 500)
plt.plot(t, np.exp(-t**2/2)/np.sqrt(2*np.pi), 'r')
plt.show()

L'histogramme de $Z$ épouse la densité $\mathcal{N}(0,1)$ .

Application guidée

Même démarche avec $X_i\sim\mathcal{E}(1)$ ( $m=1$ , $\sigma=1$ ), $n=50$ , $M=5000$ .

Application autonome 1

Comparer l'approximation pour $n=5$ , $n=30$ , $n=200$ avec $X_i\sim\mathcal{U}[0,1]$ ( $m=1/2$ , $\sigma=1/\sqrt{12}$ ).

Application autonome 2

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Tracer l'histogramme de $\dfrac{S_n - n}{\sqrt{n}}$ pour $n = 30$ et $M = 5000$ répétitions, et superposer la densité de $\mathcal{N}(0,1)$ .

Application autonome 3

Soit $(Y_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Illustrer le TLC en traçant l'histogramme de $\dfrac{S_n - n/2}{\sqrt{n/12}}$ pour $n = 50$ et $M = 10000$ , superposé à la densité $\mathcal{N}(0,1)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En traçant l'histogramme de (Sn−nm)/(σn)(S_n-nm)/(\sigma\sqrt{n})(Sn​−nm)/(σn​) sur MMM répétitions et en le comparant à N(0,1)\mathcal{N}(0,1)N(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant l'histogramme de $(S_n-nm)/(\sigma\sqrt{n})$ sur $M$ répétitions et en le comparant à $\mathcal{N}(0,1)$