Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ? | MetMat

Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ?

En traçant la suite des moyennes empiriques $\bar X_n$ via `np.cumsum(X)/np.arange(1,N+1)`

L'objectif

Illustrer que $\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$ converge vers $E(X)$ quand $n\to\infty$ .

Le principe

Pour $(X_n)$ i.i.d. intégrables d'espérance $m$ , la loi (faible) des grands nombres affirme $\bar X_n \xrightarrow{P} m$ ; sur une trajectoire simulée, la suite $(\bar X_n)_{n\geq 1}$ se stabilise autour de $m$ .

La méthode

1
Je simule en une fois un long échantillon i.i.d. de taille $N$ avec X = rd.rand(...) adapté à la loi ( $\mathcal{U}$ , $\mathcal{E}$ , $\mathcal{B}$ , etc.).
2
Je calcule la suite des moyennes partielles en vectoriel : moy = np.cumsum(X) / np.arange(1, N+1).
3
Je trace $n\mapsto \bar X_n$ avec plt.plot(np.arange(1, N+1), moy) puis l'espérance théorique avec plt.axhline(m, color='red').
4
Je commente l'oscillation décroissante autour de $m$ et la stabilisation à partir d'un $n$ grand, illustration de la LFGN.

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Application guidée 1

Illustrer la LFGN pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,1]$ avec $N=10^4$ , $m=E(X)=1/2$ .

Application guidée 2

Illustrer la LFGN pour des Bernoulli $\mathcal{B}(0.3)$ , $N=5000$ .

Application autonome 1

Montrer par simulation qu'avec $X_i$ de loi de Cauchy (sans espérance), la moyenne empirique ne se stabilise pas, $N=10^4$ .

Application autonome 2

Illustrer la LFGN pour $X_i \sim \mathcal{E}(2)$ avec $N = 10^4$ et $m = E(X) = 1/2$ .

Application autonome 3

Comparer sur un même graphique la trajectoire des moyennes partielles pour $X_i \sim \mathcal{P}(3)$ et $X_i \sim \mathcal{N}(3, 100)$ , $N = 2000$ .

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En traçant la suite des moyennes empiriques Xˉn\bar X_nXˉn​ via np.cumsum(X)/np.arange(1,N+1)

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En traçant la suite des moyennes empiriques $\bar X_n$ via `np.cumsum(X)/np.arange(1,N+1)`