Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ? | MetMat

Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?

En traçant la fonction de répartition empirique en escalier et en la superposant à la FdR théorique

Visualiser la convergence de la fonction de répartition empirique vers la FdR théorique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Comparer la FdR empirique d'un échantillon de taille $N=500$ d'une loi $\mathcal{E}(1)$ à la FdR théorique $F(t)=1-\mathrm{e}^{-t}$ sur $t\geq 0$ .

L'objectif

Visualiser la convergence de la fonction de répartition empirique vers la FdR théorique.

Le principe

La fonction de répartition empirique $\hat{F}_N(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbf{1}_{X_i \leq t}$ converge p.s. vers $F_X(t)$ en tout $t$ (loi forte des grands nombres appliquée aux $\mathbf{1}_{X_i\leq t}$ ). Graphiquement, après tri de l'échantillon, elle s'obtient en escalier avec des sauts de $1/N$ .

La méthode

1
Je simule l'échantillon X = ... de taille $N$ , puis je le trie avec Xs = np.sort(X) pour obtenir les abscisses des sauts.
2
Je construis les ordonnées Y = np.arange(1, N+1)/N : la $i$ -ème marche atteint la hauteur $i/N$ .
3
Je trace la FdR empirique en escalier avec plt.step(Xs, Y, where='post', label='empirique').
4
Je superpose la FdR théorique $F$ évaluée sur une grille fine : t = np.linspace(a, b, 500) puis plt.plot(t, F(t), 'r', label='théorique'), et je conclus sur l'adéquation.

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Exercice d'exemple

Comparer la FdR empirique d'un échantillon de taille $N=500$ d'une loi $\mathcal{E}(1)$ à la FdR théorique $F(t)=1-\mathrm{e}^{-t}$ sur $t\geq 0$ .

Étape 1 —

Je simule l'échantillon X = ... de taille

N

, puis je le trie avec Xs = np.sort(X) pour obtenir les abscisses des sauts.

import numpy as np, numpy.random as rd, matplotlib.pyplot as plt
N = 500
X = rd.exponential(1, size=N)
Xs = np.sort(X)

Étape 2 —

Je construis les ordonnées Y = np.arange(1, N+1)/N : la

i

-ème marche atteint la hauteur

i/N

Y = np.arange(1, N+1) / N

Étape 3 —

Je trace la FdR empirique en escalier avec plt.step(Xs, Y, where='post', label='empirique').

plt.step(Xs, Y, where='post', label='empirique')

Étape 4 —

Je superpose la FdR théorique

F

évaluée sur une grille fine : t = np.linspace(a, b, 500) puis plt.plot(t, F(t), 'r', label='théorique'), et je conclus sur l'adéquation.

t = np.linspace(0, 6, 500)
plt.plot(t, 1 - np.exp(-t), 'r', label='1 - exp(-t)')
plt.legend(); plt.show()

L'escalier empirique épouse la courbe $1-\mathrm{e}^{-t}$ .

Application guidée

Tracer la FdR empirique pour $N=1000$ tirages de $\mathcal{N}(0,1)$ et superposer $\Phi$ via scipy.stats.norm.cdf.

Application autonome 1

Illustrer par simulation que la loi de Cauchy (densité $\frac{1}{\pi(1+x^2)}$ ) n'admet pas d'espérance en observant sa FdR empirique et la stabilité de $\bar{X}_n$ .

Application autonome 2

Tracer la FdR empirique d'un échantillon $N = 200$ de loi $\mathcal{U}([0,1])$ et la comparer à $F(t) = t$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 3

Tracer la FdR empirique pour $N = 500$ tirages de $\mathcal{P}(3)$ et superposer $F(k) = \sum_{j=0}^{k} e^{-3} 3^j/j!$ .

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