Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ? | MetMat

Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ?

En calculant `U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6` pour obtenir $X \approx \mathcal{N}(0,1)$

L'objectif

Simuler une réalisation approchée de $\mathcal{N}(0,1)$ avec $12$ uniformes.

Le principe

Si $U_1,\dots,U_{12}$ sont i.i.d. $\mathcal{U}([0,1])$ , alors $E(U_i) = 1/2$ , $V(U_i) = 1/12$ , donc $S = \sum U_i$ vérifie $E(S) = 6$ et $V(S) = 1$ ; par TLC, $S - 6 \approx \mathcal{N}(0,1)$ , et le choix $n=12$ évite la division par $\sqrt{n}$ .

La méthode

1
Je rappelle les moments de $\mathcal{U}([0,1])$ : $E(U) = 1/2$ et $V(U) = 1/12$ , ce qui fixe la normalisation.
2
Je tire $12$ uniformes avec U = rd.random(12), tableau numpy de taille $12$ à valeurs dans $[0,1[$ .
3
Je calcule la somme centrée : X = np.sum(U) - 6. L'espérance vaut $12\cdot 1/2 - 6 = 0$ et la variance vaut $12\cdot 1/12 = 1$ .
4
D'après le TLC, $X$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ ; $n=12$ donne déjà une très bonne approximation, d'où l'intérêt de cette valeur.
5
Pour un échantillon de taille $N$ , je vectorise : U = rd.random((N, 12)) puis X = U.sum(axis=1) - 6, ce qui donne un tableau de $N$ réalisations en une seule opération numpy.

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Simuler une réalisation de $\mathcal{N}(0,1)$ par la méthode des $12$ uniformes, afficher sa valeur.

Application guidée 2

Simuler un échantillon de taille $N = 10^4$ par la méthode TLC+12 uniformes et superposer l'histogramme à la densité gaussienne.

Application autonome 1

Utiliser la méthode pour simuler $Y\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\mu = 5$ , $\sigma^2 = 4$ .

Application autonome 2

Écrire une fonction Python simule_normale() simulant approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ par la méthode TLC à $12$ uniformes.

Application autonome 3

Écrire une fonction Python echantillon_normal(M) renvoyant un tableau de $M$ réalisations approximatives de $\mathcal{N}(0,1)$ par la méthode TLC à $12$ .

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En calculant U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6 pour obtenir X≈N(0,1)X \approx \mathcal{N}(0,1)X≈N(0,1)

Évalue la méthode

En calculant `U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6` pour obtenir $X \approx \mathcal{N}(0,1)$