Comment calculer la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ quand $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ? | MetMat

Comment calculer la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ quand $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En appliquant la règle de la chaîne $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)$

L'objectif

Exprimer et calculer $g'(t)$ lorsque $g \colon t \mapsto f(x+th)$ est obtenue en composant une direction affine avec $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ .

Le principe

Si $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et si $x,h \in \mathbb{R}^n$ , alors la fonction $g \colon t \mapsto f(x+th)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_{i=1}^n h_i\,\partial_i f(x+th)$ . En particulier, $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ (hypothèse indispensable pour appliquer la règle de la chaîne).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule les dérivées partielles $\partial_i f$ et j'évalue $\nabla f(x+th) = (\partial_1 f(x+th),\ldots,\partial_n f(x+th))$ .
3
J'applique la formule de la dérivée composée : $g'(t) = \sum_{i=1}^n h_i\,\partial_i f(x+th) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle$ .
4
Si demandé, je spécialise en $t=0$ : $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ , qui est la dérivée directionnelle de $f$ en $x$ dans la direction $h$ .

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Application guidée 1

Soit $f(x,y) = x^2 + 2y^2$ , $x = (1,1)$ et $h = (1,-1)$ . Calculer $g(t) = f(x+th)$ puis $g'(t)$ par la règle de la chaîne, et vérifier en dérivant directement.

Application guidée 2

Soit $f(x,y) = \mathrm{e}^{x+y}$ . Calculer $g'(t)$ avec $x = (0,0)$ et $h = (1,2)$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ , $x \in \mathbb{R}^n$ et $h = \nabla f(x)$ (supposé non nul). Montrer que $t \mapsto f(x+th)$ est strictement croissante au voisinage de $0$ .

Application autonome 2

Soit $f(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ , $x_0 = (1, 2)$ et $h = (1, 1)$ . Calculer $g'(0)$ où $g(t) = f(x_0 + t h)$ .

Application autonome 3

Soit $f(x, y, z) = x y z$ , $x_0 = (1, 2, 3)$ et $h = (1, -1, 0)$ . Calculer $g'(t)$ où $g(t) = f(x_0 + t h)$ .

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En appliquant la règle de la chaîne g′(t)=⟨∇f(x+th),h⟩=∑ihi ∂if(x+th)g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)g′(t)=⟨∇f(x+th),h⟩=∑i​hi​∂i​f(x+th)

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En appliquant la règle de la chaîne $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)$