Comment écrire le développement limité d'ordre 1 de $f$ en un point ? | MetMat

Comment écrire le développement limité d'ordre 1 de $f$ en un point ?

En appliquant $f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h)\to 0$

Écrire le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ en un point $x \in \mathbb{R}^n$ .

L'objectif

Écrire le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ en un point $x \in \mathbb{R}^n$ .

Le principe

Si $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ , alors pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ , il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de $0_{\mathbb{R}^n}$ , continue en $0$ avec $\varepsilon(0)=0$ , telle que pour tout $h \in \mathbb{R}^n$ : $f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ (ou sur un voisinage du point considéré).
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je calcule $f(x)$ et le gradient $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x),\ldots,\partial_n f(x))$ au point $x$ considéré.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
3
J'écris le DL d'ordre 1 : $f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + o(\|h\|)$ , en explicitant le produit scalaire $\langle \nabla f(x), h \rangle = \sum_{i=1}^n \partial_i f(x)\, h_i$ .
4
J'exploite le DL : approximation $f(x+h) \simeq f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle$ pour $h$ petit, ou calcul d'un plan tangent au graphe de $f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire le développement limité à l'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + xy + y^3$ en $(1,1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^n

(ou sur un voisinage du point considéré).

$f$ est polynomiale sur $\mathbb{R}^2$ donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(x)

et le gradient

\nabla f(x) = (\partial_1 f(x),\ldots,\partial_n f(x))

au point

x

considéré.

$f(1,1) = 1 + 1 + 1 = 3$ ; $\partial_1 f(x,y)=2x+y$ donne $\partial_1 f(1,1)=3$ ; $\partial_2 f(x,y)=x+3y^2$ donne $\partial_2 f(1,1)=4$ ; donc $\nabla f(1,1) = (3,4)$ .

Étape 3 —

J'écris le DL d'ordre 1 :

f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + o(\|h\|)

, en explicitant le produit scalaire

\langle \nabla f(x), h \rangle = \sum_{i=1}^n \partial_i f(x)\, h_i

Pour $h=(h_1,h_2) \in \mathbb{R}^2$ : $f(1+h_1,1+h_2) = 3 + 3h_1 + 4h_2 + o(\|h\|)$ .

Étape 4 —

J'exploite le DL : approximation

f(x+h) \simeq f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle

pour

h

petit, ou calcul d'un plan tangent au graphe de

f

Le plan tangent au graphe de $f$ en $(1,1,3)$ a pour équation $z = 3 + 3(x-1) + 4(y-1)$ , soit $z = 3x + 4y - 4$ .

$f(1+h_1,1+h_2) = 3 + 3h_1 + 4h_2 + o(\|h\|)$ .

Application guidée

Écrire le DL d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{xy}$ en $(0,0)$ , puis en déduire une approximation de $f(0{,}1\,;\,0{,}2)$ .

Application autonome 1

Écrire le DL d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto \sqrt{x^2+y^2+1}$ en $(0,0)$ .

Application autonome 2

Écrire le DL d'ordre 1 de $f(x, y) = \sin(x + y^2)$ en $(0, 0)$ .

Application autonome 3

Écrire le DL d'ordre 1 de $f(x, y) = x y^2 + 2 x y$ en $(2, 1)$ , puis estimer $f(2{,}1\ ;\ 0{,}9)$ .

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En appliquant f(x+h)=f(x)+⟨∇f(x),h⟩+∥h∥ ε(h)f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)f(x+h)=f(x)+⟨∇f(x),h⟩+∥h∥ε(h) avec ε(h)→0\varepsilon(h)\to 0ε(h)→0

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h)\to 0$