Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sont de classe $\mathcal{C}^1$

Prouver rapidement qu'une fonction $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ en invoquant les théorèmes d'opérations du B.O.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto \dfrac{x^2 + y^2}{1 + \mathrm{e}^{x+y}}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Prouver rapidement qu'une fonction $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ en invoquant les théorèmes d'opérations du B.O.

Le principe

Les fonctions polynomiales de $n$ variables et les projections $\pi_i \colon x \mapsto x_i$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ . La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) et la composée $\varphi \circ u$ avec $u \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n)$ et $\varphi \in \mathcal{C}^1$ sur un intervalle contenant $u(\mathbb{R}^n)$ restent de classe $\mathcal{C}^1$ .

La méthode

1
J'identifie les briques élémentaires : projections $\pi_i$ , fonctions polynomiales, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, racine, etc., toutes de classe $\mathcal{C}^1$ sur leur domaine.
2
Je décris $f$ comme combinaison de ces briques par somme, produit, quotient ou composée, en précisant à chaque étape le cadre (domaine, non-annulation du dénominateur).
3
J'invoque les théorèmes d'opérations sur les fonctions $\mathcal{C}^1$ pour conclure que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto \dfrac{x^2 + y^2}{1 + \mathrm{e}^{x+y}}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

J'identifie les briques élémentaires : projections

\pi_i

, fonctions polynomiales, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, racine, etc., toutes de classe

\mathcal{C}^1

sur leur domaine.

$(x,y) \mapsto x^2 + y^2$ est polynomiale, donc $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je décris

f

comme combinaison de ces briques par somme, produit, quotient ou composée, en précisant à chaque étape le cadre (domaine, non-annulation du dénominateur).

$(x,y) \mapsto x + y$ est affine et $\exp$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , donc $(x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x+y}$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ par composition. Il vient que $(x,y) \mapsto 1 + \mathrm{e}^{x+y}$ est $\mathcal{C}^\infty$ et strictement positive (car $\mathrm{e}^{x+y} > 0$ , donc $1 + \mathrm{e}^{x+y} > 1$ ).

Étape 3 —

J'invoque les théorèmes d'opérations sur les fonctions

\mathcal{C}^1

pour conclure que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^n

Le quotient d'une fonction $\mathcal{C}^\infty$ par une fonction $\mathcal{C}^\infty$ strictement positive est $\mathcal{C}^\infty$ , donc en particulier $\mathcal{C}^1$ : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ (en particulier $\mathcal{C}^1$ ) sur $\mathbb{R}^2$ , comme quotient de fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à dénominateur strictement positif.

Application guidée

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto \dfrac{xy}{1+x^2+y^2}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $f \colon (x,y,z) \mapsto \mathrm{e}^{-x^2-y^2-z^2}\cos(xyz)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ . Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Soit $g(x, y) = \dfrac{\sin(xy)}{1 + x^2}$ . Montrer que $g$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe C1\mathcal{C}^1C1 sont de classe C1\mathcal{C}^1C1

Pour comprendre, fais des exercices !

En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sont de classe $\mathcal{C}^1$