Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

En vérifiant que les dérivées partielles $\partial_i f$ existent toutes et sont continues sur $\mathbb{R}^n$

Prouver directement qu'une fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ en vérifiant les hypothèses de la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + 3xy - y^3$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Prouver directement qu'une fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ en vérifiant les hypothèses de la définition.

Le principe

Une fonction $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ si et seulement si, pour tout $i \in \{1,\ldots,n\}$ , la dérivée partielle $\partial_i f$ existe en tout point de $\mathbb{R}^n$ et l'application $x \mapsto \partial_i f(x)$ est continue sur $\mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
Je justifie que chaque fonction partielle $x_i \mapsto f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , ce qui assure l'existence de $\partial_i f(x)$ en tout point.
2
Je calcule explicitement chacune des $n$ dérivées partielles $\partial_1 f,\ldots,\partial_n f$ en dérivant par rapport à la variable concernée, les autres étant fixées.
3
Je justifie que chaque $\partial_i f$ est continue sur $\mathbb{R}^n$ en l'écrivant comme somme, produit, quotient (dénominateur non nul) ou composée de fonctions continues usuelles et des projections.
4
Je conclus : toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur $\mathbb{R}^n$ , donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + 3xy - y^3$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je justifie que chaque fonction partielle

x_i \mapsto f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)

est dérivable sur

\mathbb{R}

, ce qui assure l'existence de

\partial_i f(x)

en tout point.

Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ fixé, $x \mapsto x^2 y + 3xy - y^3$ et $y \mapsto x^2 y + 3xy - y^3$ sont polynomiales donc dérivables sur $\mathbb{R}$ : $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ existent.

Étape 2 —

Je calcule explicitement chacune des

n

dérivées partielles

\partial_1 f,\ldots,\partial_n f

en dérivant par rapport à la variable concernée, les autres étant fixées.

En dérivant : $\partial_1 f(x,y) = 2xy + 3y$ et $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 3x - 3y^2$ .

Étape 3 —

Je justifie que chaque

\partial_i f

est continue sur

\mathbb{R}^n

en l'écrivant comme somme, produit, quotient (dénominateur non nul) ou composée de fonctions continues usuelles et des projections.

Les deux expressions sont polynomiales en $(x,y)$ , donc continues sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 4 —

Je conclus : toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur

\mathbb{R}^n

, donc

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

\mathbb{R}^n

Les deux dérivées partielles existent et sont continues sur $\mathbb{R}^2$ , donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ , avec $\partial_1 f(x,y) = 2xy + 3y$ et $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 3x - 3y^2$ .

Application guidée

Montrer que $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x+y} \sin(xy)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Soient $u \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ et $\varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ . Montrer que $f = \varphi \circ u$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Montrer que $f \colon (x, y, z) \mapsto x y + y z + z x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $f \colon (x, y) \mapsto \ln(1 + x^2 + y^2)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que les dérivées partielles ∂if\partial_i f∂i​f existent toutes et sont continues sur Rn\mathbb{R}^nRn

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que les dérivées partielles $\partial_i f$ existent toutes et sont continues sur $\mathbb{R}^n$