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Comment justifier qu'une fonction est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n ?

En vérifiant que les dérivées partielles ∂if\partial_i f existent toutes et sont continues sur Rn\mathbb{R}^n

L'objectif

Prouver directement qu'une fonction ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n en vérifiant les hypothèses de la définition.

Le principe

Une fonction f ⁣:Rn→Rf \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n si et seulement si, pour tout i∈{1,…,n}i \in \{1,\ldots,n\}, la dérivée partielle ∂if\partial_i f existe en tout point de Rn\mathbb{R}^n et l'application x↦∂if(x)x \mapsto \partial_i f(x) est continue sur Rn\mathbb{R}^n.

La méthode
  1. 1
    Je justifie que chaque fonction partielle xi↦f(x1,…,xi,…,xn)x_i \mapsto f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n) est dérivable sur R\mathbb{R}, ce qui assure l'existence de ∂if(x)\partial_i f(x) en tout point.
  2. 2
    Je calcule explicitement chacune des nn dérivées partielles ∂1f,…,∂nf\partial_1 f,\ldots,\partial_n f en dérivant par rapport à la variable concernée, les autres étant fixées.
  3. 3
    Je justifie que chaque ∂if\partial_i f est continue sur Rn\mathbb{R}^n en l'écrivant comme somme, produit, quotient (dénominateur non nul) ou composée de fonctions continues usuelles et des projections.
  4. 4
    Je conclus : toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur Rn\mathbb{R}^n, donc ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Rn\mathbb{R}^n.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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