En calculant successivement les $\partial_i f(x)$ puis en posant $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x))$

L'objectif

Déterminer explicitement le gradient de $f$ en un point donné.

Le principe

Pour $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles en $x$ , le gradient $\nabla f(x) \in \mathbb{R}^n$ est défini par $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x))$ ; dans le cas $\mathcal{C}^1$ , il indique la direction de plus forte croissance de $f$ et est orthogonal aux lignes de niveau.

La méthode

1
Je calcule chaque dérivée partielle $\partial_i f(x)$ pour $i \in \{1,\dots,n\}$ en dérivant par rapport à $x_i$ à autres variables fixées.
2
Je rassemble ces dérivées partielles dans le vecteur $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x)) \in \mathbb{R}^n$ .
3
J'évalue $\nabla f$ au point demandé si nécessaire et j'interprète géométriquement (direction, orthogonalité aux lignes de niveau).

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Calculer $\nabla f(x,y)$ puis $\nabla f(1,2)$ pour $f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2$ .

Application guidée 2

Calculer le gradient de $f(x,y) = \mathrm{e}^{x} \sin(y)$ en $(0,0)$ .

Application autonome 1

Calculer $\nabla f(x,y,z)$ pour $f(x,y,z) = xyz + x^2 + z$ .

Application autonome 2

Calculer le gradient de $f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ en $(1,1)$ et l'interpréter.

Application autonome 3

Soit $f(x, y, z) = x^2 y + y z^2 + x z$ . Calculer $\nabla f(x, y, z)$ .

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En calculant successivement les ∂if(x)\partial_i f(x)∂i​f(x) puis en posant ∇f(x)=(∂1f(x),…,∂nf(x))\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x))∇f(x)=(∂1​f(x),…,∂n​f(x))

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En calculant successivement les $\partial_i f(x)$ puis en posant $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x))$