En fixant toutes les coordonnées sauf la $i$ -ème dans l'expression de $f$

Ramener l'étude locale d'une fonction de $n$ variables à celle d'une fonction d'une variable.

L'objectif

Ramener l'étude locale d'une fonction de $n$ variables à celle d'une fonction d'une variable.

Le principe

Pour $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ et $x_0 = (a_1,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^n$ , la $i$ -ème fonction partielle en $x_0$ est $\varphi_i : t \mapsto f(a_1,\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_n)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je précise le point $x_0 = (a_1,\dots,a_n)$ et j'identifie la variable $i$ retenue (les autres seront fixées).
2
Je remplace dans l'expression de $f$ les variables $x_j$ par $a_j$ pour $j \neq i$ et je conserve $x_i = t$ .
3
J'écris explicitement $\varphi_i(t) = f(a_1,\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_n)$ et je précise son domaine.

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Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 y + 3xy - y^2$ . Calculer les fonctions partielles en $x_0 = (1,2)$ .

Étape 1 —

Je précise le point

x_0 = (a_1,\dots,a_n)

et j'identifie la variable

i

retenue (les autres seront fixées).

Le point est $x_0 = (1,2)$ ; il y a deux fonctions partielles, une par variable.

Étape 2 —

Je remplace dans l'expression de

f

les variables

x_j

par

a_j

pour

j \neq i

et je conserve

x_i = t

Fonction partielle par rapport à $x$ : je fixe $y = 2$ et j'obtiens $t \mapsto f(t,2) = 2t^2 + 6t - 4$ . Fonction partielle par rapport à $y$ : je fixe $x = 1$ et j'obtiens $t \mapsto f(1,t) = t + 3t - t^2 = 4t - t^2$ .

Étape 3 —

J'écris explicitement

\varphi_i(t) = f(a_1,\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_n)

et je précise son domaine.

$\varphi_1(t) = 2t^2 + 6t - 4$ et $\varphi_2(t) = -t^2 + 4t$ , toutes deux définies sur $\mathbb{R}$ .

$\varphi_1 : t \mapsto 2t^2 + 6t - 4$ et $\varphi_2 : t \mapsto -t^2 + 4t$ .

Application guidée

Soit $f(x,y,z) = x \mathrm{e}^y + yz$ . Calculer la fonction partielle par rapport à $y$ en $x_0 = (2,y,1)$ .

Application autonome 1

Soit $f(x,y) = \cos(x) + \sin(xy)$ . Calculer les fonctions partielles en $x_0 = (0,0)$ .

Application autonome 2

Soit $f(x, y) = x^2 y + y^3$ . Calculer $\partial_1 f(x, y)$ en fixant $y$ .

Application autonome 3

Soit $f(x, y, z) = x e^{yz}$ . Calculer $\partial_2 f(x, y, z)$ .

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En fixant toutes les coordonnées sauf la iii-ème dans l'expression de fff

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En fixant toutes les coordonnées sauf la $i$ -ème dans l'expression de $f$