Comment montrer qu'une fonction de $n$ variables est continue sur $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction de $n$ variables est continue sur $\mathbb{R}^n$ ?

En écrivant $f$ comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues de référence

L'objectif

Obtenir la continuité d'une fonction de $n$ variables sans revenir à la définition $\varepsilon$ - $\delta$ .

Le principe

Théorèmes admis au BO : les fonctions polynomiales de $n$ variables sont continues sur $\mathbb{R}^n$ ; la somme, le produit, le quotient (hors zéro du dénominateur) et la composition d'une fonction continue $\mathbb{R}^n \to I$ par une fonction continue $I \to \mathbb{R}$ restent continus.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^n$ tout entier (ou je précise le domaine d'étude).
2
Je décompose $f$ en combinaisons de fonctions continues admises : polynômes de $n$ variables, projections, $\exp$ , $\ln$ , $\sqrt{\cdot}$ , etc., en vérifiant les conditions associées (dénominateur non nul, argument dans le domaine de définition).
3
Je conclus par application des théorèmes d'opérations sur les fonctions continues : $f$ est continue sur $\mathbb{R}^n$ .

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Application guidée 1

Montrer que $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , $f(x,y) = 3x^2y - xy^3 + 2x - 7$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée 2

Montrer que $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , $f(x,y) = \mathrm{e}^{xy} + \ln(1 + x^2 + y^2)$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ , $f(x,y,z) = \dfrac{x + y + z}{1 + x^2 + y^2 + z^2}$ est continue sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Montrer que $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , $f(x, y) = \sqrt{1 + x^2 + y^2}$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $f \colon \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \to \mathbb{R}$ , $f(x, y) = \dfrac{\sin(x y)}{x^2 + y^2}$ est continue sur son ensemble de définition.

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En écrivant fff comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues de référence

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