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Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe C1\mathcal{C}^1 ?

En résolvant le système ∂1f(x)=⋯=∂nf(x)=0\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0 sur l'ouvert de définition

L'objectif

Déterminer l'ensemble {x∈Rn:∇f(x)=0}\{x \in \mathbb{R}^n : \nabla f(x) = 0\} des points critiques d'une fonction ff de classe C1\mathcal{C}^1.

Le principe

Un point x∈Rnx \in \mathbb{R}^n est un point critique de ff de classe C1\mathcal{C}^1 si et seulement si ∇f(x)=0Rn\nabla f(x) = 0_{\mathbb{R}^n}, c'est-à-dire si ∂if(x)=0\partial_i f(x) = 0 pour tout i∈{1,…,n}i \in \{1,\ldots,n\}.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur l'ouvert UU où je cherche les points critiques (usuellement U=RnU=\mathbb{R}^n).
    Voir
  2. 2
    Je calcule explicitement les nn dérivées partielles ∂1f,…,∂nf\partial_1 f,\ldots,\partial_n f.
  3. 3
    J'écris le système {∂if(x)=0 , i=1,…,n}\{\partial_i f(x) = 0\,,\, i=1,\ldots,n\} et je le résous (par substitution, élimination, factorisation).
  4. 4
    Je liste toutes les solutions obtenues : ce sont les points critiques de ff sur UU.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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