Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction sous contrainte d'égalités linéaires dans des cas simples ? | MetMat

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction sous contrainte d'égalités linéaires dans des cas simples ?

En paramétrant $\mathcal{C}$ par une base de $H$ pour se ramener à un problème libre

L'objectif

Transformer le problème d'optimisation sous contraintes en un problème libre sur $\mathbb{R}^{n-p}$ par paramétrage.

Le principe

Si $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $(v_1,\dots,v_{n-p})$ base de $H$ , alors tout $x \in \mathcal{C}$ s'écrit $x = x^* + t_1 v_1 + \dots + t_{n-p} v_{n-p}$ , et optimiser $f$ sur $\mathcal{C}$ revient à optimiser $\varphi(t_1,\dots,t_{n-p}) = f(x^* + \sum t_j v_j)$ sur $\mathbb{R}^{n-p}$ sans contrainte.

La méthode

1
Je détermine une solution particulière $x^* \in \mathcal{C}$ et une base $(v_1,\dots,v_{n-p})$ de $H$ .
2
Je définis $\varphi \colon \mathbb{R}^{n-p} \to \mathbb{R}$ par $\varphi(t) = f(x^* + t_1 v_1 + \dots + t_{n-p} v_{n-p})$ .
3
J'effectue l'optimisation libre de $\varphi$ : calcul de $\nabla \varphi$ , résolution de $\nabla \varphi = 0$ , étude de la hessienne si nécessaire.
4
Je reviens à $x = x^* + \sum t_j v_j$ pour exprimer les extrema en coordonnées initiales et conclure sur leur nature (min/max local ou global).

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Application guidée 1

Étudier les extrema de $f(x,y) = x^2 + y^2$ sous la contrainte $x + y = 2$ par paramétrage.

Application guidée 2

Étudier les extrema de $f(x,y) = xy$ sous la contrainte $x + y = 4$ par paramétrage.

Application autonome 1

Étudier les extrema de $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ sous la contrainte $x + y + z = 3$ par paramétrage.

Application autonome 2

Étudier les extrema de $f(x, y) = x^2 - y^2$ sous la contrainte $x + y = 3$ par paramétrage.

Application autonome 3

Étudier les extrema de $f(x, y) = x^2 + 4 y^2$ sous la contrainte $x + 2 y = 2$ par paramétrage.

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En paramétrant C\mathcal{C}C par une base de HHH pour se ramener à un problème libre

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En paramétrant $\mathcal{C}$ par une base de $H$ pour se ramener à un problème libre