Comment identifier l'espace vectoriel $H$ des solutions du système homogène associé ? | MetMat

Comment identifier l'espace vectoriel $H$ des solutions du système homogène associé ?

En résolvant le système homogène pour obtenir une description paramétrique puis une base de $H$

Obtenir une base explicite de l'espace vectoriel $H$ des directions de l'ensemble des contraintes.

L'objectif

Obtenir une base explicite de l'espace vectoriel $H$ des directions de l'ensemble des contraintes.

Le principe

$H$ est défini comme l'ensemble des $h \in \mathbb{R}^n$ tels que $g_i(h) = 0$ pour tout $i$ ; sa dimension est $n - \mathrm{rg}$ du système, et résoudre donne une paramétrisation dont les vecteurs directeurs forment une base.

La méthode

1
J'écris le système homogène $g_1(h) = 0,\dots,g_p(h) = 0$ sous forme matricielle $M h = 0$ où $M$ a les $\alpha_{i,k}$ pour coefficients.
2
Je résous le système par la méthode du pivot : je détermine les variables pivots (au nombre de $r = \mathrm{rg}(M)$ ) et les variables libres (au nombre de $n - r$ ).
3
J'exprime les solutions sous forme paramétrique $h = t_1 v_1 + \dots + t_{n-r} v_{n-r}$ avec les $t_j$ parcourant $\mathbb{R}$ .
4
Je conclus que $(v_1,\dots,v_{n-r})$ est une base de $H$ et $\dim H = n - r$ .

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Application guidée 1

Dans $\mathbb{R}^3$ , déterminer une base de $H = \{(h_1,h_2,h_3) : h_1 + h_2 + h_3 = 0\}$ .

Application guidée 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , déterminer une base de $H = \{h : h_1 + h_2 + h_3 = 0 \text{ et } h_1 - h_2 = 0\}$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ , déterminer une base de $H = \{(h_1,h_2,h_3,h_4) : h_1 + h_2 = 0 \text{ et } h_3 + h_4 = 0\}$ .

Application autonome 2

Optimiser $f(x, y, z) = x + y + z$ sous la contrainte $x + 2y + z = 4$ en paramétrant la contrainte.

Application autonome 3

Optimiser $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ sous la contrainte $x + y + z = 3$ en paramétrant.

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En résolvant le système homogène pour obtenir une description paramétrique puis une base de HHH

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