Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ? | MetMat

Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ?

En remarquant que $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $x^*$ solution particulière et $H$ espace des solutions homogènes

L'objectif

Écrire $\mathcal{C}$ sous forme affine $x^* + H$ pour exploiter la structure vectorielle de $H$ dans la suite du problème.

Le principe

Si $x^*$ est une solution particulière du système $g_i(x) = b_i$ , alors $x \in \mathcal{C}$ équivaut à $x - x^* \in H$ où $H = \{h \in \mathbb{R}^n : g_1(h) = \dots = g_p(h) = 0\}$ , d'où $\mathcal{C} = x^* + H$ .

La méthode

1
Je cherche une solution particulière $x^* \in \mathbb{R}^n$ du système $g_i(x) = b_i$ , typiquement en annulant certaines coordonnées.
2
Je définis l'espace homogène $H = \bigcap_{i=1}^p \ker(g_i) = \{h \in \mathbb{R}^n : g_i(h) = 0 \text{ pour tout } i\}$ .
3
Je vérifie que pour tout $h \in H$ , $x^* + h$ est solution puisque $g_i(x^* + h) = g_i(x^*) + g_i(h) = b_i + 0 = b_i$ par linéarité.
4
Je conclus $\mathcal{C} = x^* + H$ , ensemble affine de direction $H$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Écrire $\mathcal{C} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 3\}$ sous la forme $x^* + H$ .

Application guidée 2

Écrire $\mathcal{C}$ défini dans $\mathbb{R}^3$ par $x + y + z = 6$ et $x - y = 0$ sous la forme $x^* + H$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^2$ , écrire $\mathcal{C} = \{(x,y) : 2x + y = 4\}$ sous la forme $x^* + H$ .

Application autonome 2

Écrire $\mathcal{C} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 3 x - y = 6\}$ sous la forme $x^{*} + H$ .

Application autonome 3

Écrire $\mathcal{C}$ défini dans $\mathbb{R}^3$ par $x + y - z = 1$ et $2 x + y = 3$ sous la forme $x^{*} + H$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En remarquant que C=x∗+H\mathcal{C} = x^* + HC=x∗+H avec x∗x^*x∗ solution particulière et HHH espace des solutions homogènes

Évalue la méthode

En remarquant que $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $x^*$ solution particulière et $H$ espace des solutions homogènes