Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ? | MetMat

Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ?

En posant $\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1, \dots, g_p(x) = b_p\}$ avec $g_i$ linéaires

Écrire proprement l'ensemble admissible $\mathcal{C}$ comme intersection des hyperplans affines définis par chaque contrainte.

L'objectif

Écrire proprement l'ensemble admissible $\mathcal{C}$ comme intersection des hyperplans affines définis par chaque contrainte.

Le principe

Pour $g_1,\dots,g_p$ formes linéaires sur $\mathbb{R}^n$ et $b_1,\dots,b_p \in \mathbb{R}$ , l'ensemble $\mathcal{C} = \bigcap_{i=1}^p \{x \in \mathbb{R}^n : g_i(x) = b_i\}$ est le sous-ensemble des $x$ satisfaisant simultanément toutes les contraintes linéaires.

La méthode

1
Je lis l'énoncé et j'identifie les contraintes : chaque équation doit être linéaire en $x_1,\dots,x_n$ , du type $g_i(x) = b_i$ où $g_i(x) = \alpha_{i,1} x_1 + \dots + \alpha_{i,n} x_n$ est une forme linéaire.
2
Je définis chaque forme linéaire $g_i \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ et je note le second membre $b_i$ associé.
3
J'écris $\mathcal{C} = \{x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1,\dots, g_p(x) = b_p\}$ en rassemblant toutes les contraintes dans un seul système.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire l'ensemble $\mathcal{C}$ des $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ vérifiant $x + y + z = 1$ .

Étape 1 —

Je lis l'énoncé et j'identifie les contraintes : chaque équation doit être linéaire en

x_1,\dots,x_n

, du type

g_i(x) = b_i

où

g_i(x) = \alpha_{i,1} x_1 + \dots + \alpha_{i,n} x_n

est une forme linéaire.

La contrainte $x + y + z = 1$ est bien linéaire : le membre de gauche est une forme linéaire en $(x,y,z)$ .

Étape 2 —

Je définis chaque forme linéaire

g_i \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

et je note le second membre

b_i

associé.

Je pose $g_1 \colon (x,y,z) \mapsto x + y + z$ et $b_1 = 1$ ; on a $p = 1$ contrainte.

Étape 3 —

J'écris

\mathcal{C} = \{x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1,\dots, g_p(x) = b_p\}

en rassemblant toutes les contraintes dans un seul système.

Ainsi $\mathcal{C} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\}$ est l'hyperplan affine d'équation $x + y + z = 1$ .

$\mathcal{C} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\}$ .

Application guidée

Écrire $\mathcal{C}$ défini par $x + y + z = 6$ et $x - y = 0$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ , écrire $\mathcal{C}$ défini par $x_1 + x_2 = 1$ et $x_3 + x_4 = 2$ .

Application autonome 2

Écrire l'ensemble $\mathcal{C}$ des $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ vérifiant $2 x + 3 y = 5$ .

Application autonome 3

Écrire $\mathcal{C}$ défini par $x_1 - x_2 + 2 x_3 = 0$ et $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ dans $\mathbb{R}^3$ .

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En posant C={x∈Rn:g1(x)=b1,…,gp(x)=bp}\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1, \dots, g_p(x) = b_p\}C={x∈Rn:g1​(x)=b1​,…,gp​(x)=bp​} avec gig_igi​ linéaires

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1, \dots, g_p(x) = b_p\}$ avec $g_i$ linéaires