Comment justifier l'existence d'un extremum global d'une fonction continue sur un fermé borné ? | MetMat

Comment justifier l'existence d'un extremum global d'une fonction continue sur un fermé borné ?

En vérifiant la continuité de $f$ et que $K$ est fermé borné, puis en invoquant le théorème

L'objectif

Garantir l'existence d'un minimum et d'un maximum globaux d'une fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^n$ .

Le principe

Théorème admis : toute fonction continue sur un fermé borné $K\subset \mathbb{R}^n$ est bornée et atteint ses bornes, c'est-à-dire il existe $x_{\min}, x_{\max}\in K$ tels que $f(x_{\min}) = \inf_K f$ et $f(x_{\max}) = \sup_K f$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $K$ (restrictions d'opérations usuelles).
2
Je vérifie que $K$ est fermé : souvent $K$ est défini par des (in)égalités larges de fonctions continues, donc image réciproque de fermés.
3
Je vérifie que $K$ est borné : je majore les coordonnées des points de $K$ (par une inégalité issue de la définition).
4
J'invoque le théorème admis : $f$ atteint son minimum et son maximum sur $K$ , donc ces extrema globaux existent.

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Application guidée 1

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - x y$ sur $K = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$ . Justifier l'existence d'un min et d'un max global.

Application guidée 2

Soit $f(x,y) = e^{x} \cos(y)$ sur $K = [0, 1] \times [0, 2\pi]$ . Justifier l'existence d'un extremum global.

Application autonome 1

Soit $K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x + y \leq 2,\ x\geq 0,\ y\geq 0\}$ (triangle) et $f(x,y) = x y$ . Justifier que $f$ admet un min et un max sur $K$ .

Application autonome 2

Soit $f(x, y) = x^2 + y^2$ et $K = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$ . Justifier que $f$ atteint son maximum et son minimum sur $K$ .

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = xy$ et $K = [0, 1]^2$ . Justifier que $f$ atteint ses extrema sur $K$ et les déterminer.

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En vérifiant la continuité de fff et que KKK est fermé borné, puis en invoquant le théorème

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En vérifiant la continuité de $f$ et que $K$ est fermé borné, puis en invoquant le théorème