Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de $\nabla^2 f$ ? | MetMat

Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de $\nabla^2 f$ ?

En vérifiant $\Omega$ ouvert convexe et $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout point

L'objectif

Démontrer qu'un point critique est un extremum global en vérifiant la convexité du domaine et le signe uniforme du spectre de $\nabla^2 f$ .

Le principe

Le cours admet : si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un ouvert convexe et $f:\Omega\to \mathbb{R}$ est $\mathcal{C}^2$ telle que $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ pour tout $x\in \Omega$ , alors $f$ est convexe sur $\Omega$ et tout point critique est un minimum global (résultat symétrique pour $\mathbb{R}_-$ et maximum). La démonstration n'est pas exigible.

La méthode

1
Je vérifie que $\Omega$ est ouvert convexe (souvent $\mathbb{R}^n$ , un demi-plan, une bande, une boule ouverte) et que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .
2
Je détermine le(s) point(s) critique(s) de $f$ en résolvant $\nabla f(x) = 0$ sur $\Omega$ .
3
Je calcule $\nabla^2 f(x)$ en un point générique $x\in \Omega$ et je vérifie que $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout $x\in \Omega$ .
4
J'applique le théorème admis : tout point critique est alors un minimum (resp. maximum) global de $f$ sur $\Omega$ .
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?Voir

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Application guidée 1

Montrer que $(0,0)$ est un minimum global de $f(x,y) = x^2 + y^2 + x y$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée 2

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 x - 4 y + 5$ . Montrer que $f$ admet un minimum global et le calculer.

Application autonome 1

Montrer que $f(x,y) = -x^2 - y^2 + 4 x + 2 y$ admet un maximum global sur $\mathbb{R}^2$ et le calculer.

Application autonome 2

Soit $f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 + y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . Montrer que $(0,0)$ est un minimum global.

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = x^2 + 3 y^2 - 2 x y + 4 x$ . Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\mathbb{R}^2$ et le calculer.

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En vérifiant Ω\OmegaΩ ouvert convexe et Sp(∇2f(x))⊂R+\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+Sp(∇2f(x))⊂R+​ (resp. R−\mathbb{R}_-R−​) en tout point

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En vérifiant $\Omega$ ouvert convexe et $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout point