Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ? | MetMat

Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

L'objectif

Classer un point critique quand le critère spectral ne tranche pas (valeur propre nulle), en étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ .

Le principe

Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ contient $0$ , le critère spectral n'est pas concluant : il faut reprendre $f(x_0+h) - f(x_0)$ et étudier son signe à la main, en particulier en évaluant le long de courbes où la partie quadratique s'annule.

La méthode

1
Je vérifie que $x_0$ est critique et je calcule $\nabla^2 f(x_0)$ . Si $0 \in \mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ , j'identifie le cas limite.
2
Je choisis des directions $h$ particulières (souvent vecteurs propres) et j'évalue $f(x_0 + t h) - f(x_0)$ en fonction de $t$ pour détecter un signe ou un changement de signe.
3
Je compare les limites : si je trouve deux directions où $f(x_0+h) - f(x_0)$ a des signes opposés (aussi près qu'on veut de $x_0$ ), je conclus à un point selle ; sinon, je raffine avec un DL d'ordre supérieur.
4
Je formule la conclusion : minimum local, maximum local, point selle, ou absence d'extremum local.
Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?Voir

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Application guidée 1

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^4$ .

Application guidée 2

Classer $(0,0)$ pour $f(x,y) = x^2 - y^4$ .

Application autonome 1

Classer $(0,0)$ pour $f(x,y) = x^2 y$ .

Application autonome 2

Classer le point critique $(0, 0)$ de $f(x, y) = x^4 + y^4$ .

Application autonome 3

Classer $(0, 0)$ pour $f(x, y) = x^3 + y^3$ .

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En étudiant directement le signe de f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h) - f(x_0)f(x0​+h)−f(x0​) via le DL d'ordre 2 dans les cas limites

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En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites