Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ? | MetMat

Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?

En calculant $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ et en appliquant le critère spectral

Déterminer la nature locale d'un point critique $x_0$ (minimum, maximum ou point selle) à l'aide du spectre de $\nabla^2 f(x_0)$ .

L'objectif

Déterminer la nature locale d'un point critique $x_0$ (minimum, maximum ou point selle) à l'aide du spectre de $\nabla^2 f(x_0)$ .

Le principe

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $x_0$ point critique, le cours admet : si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))\subset \mathbb{R}_+^*$ , $x_0$ est un minimum local strict ; si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))\subset \mathbb{R}_-^*$ , $x_0$ est un maximum local strict ; si $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ contient deux valeurs propres non nulles de signes opposés, $x_0$ est un point selle.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $\Omega$ et que $x_0 \in \Omega$ est un point critique ( $\nabla f(x_0) = 0$ ).
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?Voir
2
Je calcule la hessienne $\nabla^2 f(x_0)$ et son spectre (via trace et déterminant en dimension $2$ , ou polynôme caractéristique plus généralement).
3
J'applique le critère spectral : toutes $\lambda_i > 0 \Rightarrow$ minimum local ; toutes $\lambda_i < 0 \Rightarrow$ maximum local ; signes opposés $\Rightarrow$ point selle.
4
Je conclus sur la nature locale de $x_0$ en citant explicitement le résultat utilisé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 + y^2 + xy$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^2

sur l'ouvert

\Omega

et que

x_0 \in \Omega

est un point critique (

\nabla f(x_0) = 0

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . $\nabla f(x,y) = (2x + y, 2y + x)$ , donc $\nabla f(0,0) = (0,0)$ .

Étape 2 —

Je calcule la hessienne

\nabla^2 f(x_0)

et son spectre (via trace et déterminant en dimension

2

, ou polynôme caractéristique plus généralement).

$\nabla^2 f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . $\mathrm{Tr} = 4$ , $\det = 3$ : valeurs propres $1$ et $3$ .

Étape 3 —

J'applique le critère spectral : toutes

\lambda_i > 0 \Rightarrow

minimum local ; toutes

\lambda_i < 0 \Rightarrow

maximum local ; signes opposés

\Rightarrow

point selle.

Les deux valeurs propres sont strictement positives : $(0,0)$ est un minimum local strict.

Étape 4 —

Je conclus sur la nature locale de

x_0

en citant explicitement le résultat utilisé.

Conclusion : $f$ admet un minimum local en $(0,0)$ , de valeur $f(0,0) = 0$ .

$(0,0)$ est un minimum local strict de $f$ .

Application guidée

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = -x^2 - 2 y^2 + x y$ .

Application autonome 1

Classer le point critique $(0,0)$ de $f(x,y) = x^2 - y^2$ .

Application autonome 2

Classer les points critiques de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3 x y$ .

Application autonome 3

Classer le point critique $(0, 0)$ de $f(x, y) = 2 x^2 + 3 y^2 - x y$ .

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En calculant Sp(∇2f(x0))\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))Sp(∇2f(x0​)) et en appliquant le critère spectral

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En calculant $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ et en appliquant le critère spectral