Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ? | MetMat

Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?

En évaluant $q$ sur des vecteurs propres : $q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2$

L'objectif

Exhiber explicitement un vecteur où $q$ est positive et un autre où $q$ est négative, pour justifier que $q$ change de signe sans passer par la diagonalisation complète.

Le principe

Si $u$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ , alors $q(u) = {}^t u A u = \lambda\, {}^t u u = \lambda \|u\|^2$ ; en particulier $q(u)$ est du signe de $\lambda$ .

La méthode

1
Je détermine (au moins) un vecteur propre $u_i$ de $A$ associé à une valeur propre $\lambda_i$ dont je connais le signe.
2
Je calcule $q(u_i) = {}^t u_i A u_i = \lambda_i \|u_i\|^2$ , ce qui donne directement le signe de $q$ sur la droite engendrée par $u_i$ .
3
Si je trouve deux valeurs propres de signes opposés, j'en conclus que $q$ change de signe en exhibant les deux vecteurs propres correspondants ; sinon, je confirme la positivité (resp. négativité) de $q$ .

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Application guidée 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $q$ change de signe en exhibant deux vecteurs explicites.

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Exhiber un vecteur où $q > 0$ en utilisant un vecteur propre.

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Étudier le signe de $q$ via ses vecteurs propres.

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Exhiber deux vecteurs où $q$ est positive, puis négative.

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $q$ est strictement positive sur les vecteurs propres non nuls.

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En évaluant qqq sur des vecteurs propres : q(ui)=λi∥ui∥2q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2q(ui​)=λi​∥ui​∥2

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En évaluant $q$ sur des vecteurs propres : $q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2$