Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ? | MetMat

Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ?

En diagonalisant $A$ orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$

Obtenir une forme réduite $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$, pratique pour étudier son signe.

L'objectif

Obtenir une forme réduite $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$ , pratique pour étudier son signe.

Le principe

Toute matrice symétrique réelle $A$ est diagonalisable via $P$ orthogonale : $A = P D \,{}^tP$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ ; en posant $H' = {}^t P H$ , on obtient $q(h) = {}^t H A H = {}^t H' D H' = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est symétrique réelle puis je détermine ses valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (par exemple à l'aide de la trace, du déterminant ou d'un polynôme annulateur).
2
Je diagonalise orthogonalement : j'obtiens une matrice orthogonale $P$ (base orthonormée de vecteurs propres) et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , telles que $A = P D \,{}^tP$ .
3
Je pose $H' = {}^t P H$ (changement de coordonnées orthogonal). Comme ${}^t H A H = {}^t H' D H'$ , j'obtiens $q(h) = \sum_{i=1}^n \lambda_i (h'_i)^2$ .
4
Cette forme réduite me permet de lire immédiatement le signe de $q$ à partir du signe des $\lambda_i$ .

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Application guidée 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Écrire $q(h) = {}^t H A H$ dans une base orthonormée de vecteurs propres.

Application guidée 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Réduire $q(h) = {}^t H A H$ et en donner le signe.

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Écrire $q(h) = {}^t H A H$ sous forme réduite.

Application autonome 2

Soit $q(h) = 2 h_1^2 + 2 h_2^2 + 2 h_1 h_2$ avec $h = (h_1, h_2)$ . Étudier le signe de $q$ par diagonalisation orthogonale.

Application autonome 3

Soit $q(h_1, h_2) = h_1^2 - 4 h_1 h_2 + h_2^2$ . Étudier le signe de $q$ par diagonalisation orthogonale.

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En diagonalisant AAA orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, q(h)=∑iλi(hi′)2q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2q(h)=∑i​λi​(hi′​)2

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En diagonalisant $A$ orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$