Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?
Justifier que la hessienne d'une fonction est symétrique, pour ensuite pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée.
Justifier que la hessienne d'une fonction est symétrique, pour ensuite pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée.
Théorème de Schwarz (admis) : si est de classe sur un ouvert , alors pour tous et tout , , ce qui entraîne .
Soit . Vérifier que la hessienne est symétrique.
est polynomiale donc sur : l'hypothèse du théorème de Schwarz est vérifiée.
Par Schwarz, . Calculons : et , d'où .
La matrice est bien symétrique.
est symétrique : .
Soit . Montrer que est symétrique sur .
Soit de classe . Justifier que pour tout .
Soit . Vérifier que est symétrique.
Soit . Justifier que est symétrique sur .
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