Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En reconnaissant une fonction polynomiale, admise de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$

Montrer rapidement qu'une fonction polynomiale des variables $x_1,\dots,x_n$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ .

L'objectif

Montrer rapidement qu'une fonction polynomiale des variables $x_1,\dots,x_n$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ .

Le principe

Le B.O. admet que toute fonction polynomiale de $n$ variables est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
Je reconnais que $f$ est une combinaison linéaire finie de monômes $x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ : c'est une fonction polynomiale en $(x_1,\dots,x_n)$ .
2
J'invoque le résultat admis du cours : toute fonction polynomiale de $n$ variables est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ .
3
Je conclus : $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ (et en particulier sur tout ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x,y) = x^2 + 3xy - y^3 + 5$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je reconnais que

f

est une combinaison linéaire finie de monômes

x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

: c'est une fonction polynomiale en

(x_1,\dots,x_n)

$f$ est une somme de monômes $x^2$ , $3xy$ , $-y^3$ et de la constante $5$ : c'est une fonction polynomiale de deux variables.

Étape 2 —

J'invoque le résultat admis du cours : toute fonction polynomiale de

n

variables est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\mathbb{R}^n

Le cours admet que toute fonction polynomiale de $n$ variables est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ .

Étape 3 —

Je conclus :

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\mathbb{R}^n

(et en particulier sur tout ouvert

\Omega\subset \mathbb{R}^n

Donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Soit $g(x,y,z) = x^3 y - 2 y^2 z + z^4$ . Justifier que $g$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 1

Montrer que la fonction quadratique $q(h_1,h_2) = 2 h_1^2 - 3 h_1 h_2 + h_2^2$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Montrer que $f(x, y, z) = x^2 y + y^2 z - 4 z$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Soit $q(h_1, h_2, h_3) = h_1^2 + 2 h_2^2 + 3 h_3^2 - h_1 h_2 + 4 h_2 h_3$ . Justifier que $q$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^3$ .

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