Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En invoquant les opérations préservant $\mathcal{C}^2$ (somme, produit, quotient à dénominateur non nul)

Établir la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction obtenue par opérations à partir de briques usuelles $\mathcal{C}^2$ .

L'objectif

Établir la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction obtenue par opérations à partir de briques usuelles $\mathcal{C}^2$ .

Le principe

Le cours admet que la somme, le produit et le quotient (à dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega$ restent $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

La méthode

1
J'identifie l'ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ sur lequel je veux étudier $f$ (en particulier, je précise là où un éventuel dénominateur ne s'annule pas).
2
Je décompose $f$ comme somme, produit ou quotient de fonctions polynomiales, dont chacune est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ (par résultat admis).
3
J'invoque la stabilité de $\mathcal{C}^2$ par somme/produit/quotient à dénominateur non nul, et je conclus que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

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Exercice d'exemple

Justifier que $f(x,y) = \dfrac{x^2 + y^2}{1 + x^2 + y^2}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

J'identifie l'ouvert

\Omega\subset \mathbb{R}^n

sur lequel je veux étudier

f

(en particulier, je précise là où un éventuel dénominateur ne s'annule pas).

Le dénominateur $1 + x^2 + y^2 \geq 1 > 0$ ne s'annule jamais : $f$ est bien définie sur l'ouvert $\Omega = \mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je décompose

f

comme somme, produit ou quotient de fonctions polynomiales, dont chacune est

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

(par résultat admis).

Le numérateur $x^2 + y^2$ et le dénominateur $1 + x^2 + y^2$ sont polynomiaux, donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 3 —

J'invoque la stabilité de

\mathcal{C}^2

par somme/produit/quotient à dénominateur non nul, et je conclus que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

Par stabilité du quotient (dénominateur non nul), $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Soit $f(x,y) = (x^2 - y)(x + y^3)$ . Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x,y) = \dfrac{xy}{x - y}$ est $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $\Omega = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x \neq y\}$ .

Application autonome 2

Justifier que $f(x, y) = x^2 \ln(1 + y^2)$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $f(x, y) = \dfrac{e^{x y}}{1 + x^2 + y^2}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

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En invoquant les opérations préservant C2\mathcal{C}^2C2 (somme, produit, quotient à dénominateur non nul)

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