Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ? | MetMat

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?

En utilisant la composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$

L'objectif

Établir la régularité $\mathcal{C}^2$ d'une fonction qui s'écrit sous la forme $\varphi(u(x_1,\dots,x_n))$ avec $\varphi$ d'une variable.

Le principe

Le B.O. admet que la composée d'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ à valeurs dans un intervalle $I\subset \mathbb{R}$ , avec une fonction $\mathcal{C}^2$ sur $I$ , est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

La méthode

1
J'écris $f = \varphi \circ u$ , en identifiant $u : \Omega \to I \subset \mathbb{R}$ (fonction de $n$ variables) et $\varphi : I \to \mathbb{R}$ (fonction d'une variable).
2
Je justifie que $u$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ (par exemple polynomiale) et que $\varphi$ est $\mathcal{C}^2$ sur $I$ (exp, ln sur $]0,+\infty[$ , $t \mapsto t^\alpha$ …).
3
J'invoque le théorème admis de composition : $f = \varphi \circ u$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Montrer que $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée 2

Soit $f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ . Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x,y) = \sqrt{1 + x^2 y^2}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Soit $f(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ . Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ par composition.

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = e^{x^2 - y}$ . Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

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En utilisant la composition C2∘C2\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2C2∘C2

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En utilisant la composition $\mathcal{C}^2 \circ \mathcal{C}^2$