Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ? | MetMat

Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ?

En complétant en base quelconque puis en orthonormalisant (Schmidt)

L'objectif

Obtenir une base orthonormée de $E$ prolongeant une famille orthonormée déjà donnée.

Le principe

Toute famille libre d'un espace de dimension finie peut être complétée en base ; Gram-Schmidt appliqué à la partie ajoutée, en conservant les $e_i$ initiaux, produit une base orthonormée.

La méthode

1
Je vérifie que la famille $(e_1,\ldots,e_k)$ est bien orthonormée : $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ , et donc libre.
2
Je complète $(e_1,\ldots,e_k)$ par des vecteurs $v_{k+1},\ldots,v_n$ choisis simplement pour former une base (souvent des vecteurs de la base canonique) et je vérifie l'indépendance.
3
J'applique Gram-Schmidt aux vecteurs ajoutés : pour $j$ de $k+1$ à $n$ , je pose $w_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_j, e_i \rangle e_i$ puis $e_j = w_j/\|w_j\|$ .
4
Je conclus que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$ prolongeant la famille initiale.

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Application guidée 1

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, compléter la famille $\left(e_1 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)\right)$ en une base orthonormée par Gram-Schmidt.

Application guidée 2

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, compléter la famille $(e_1) = \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\right)$ en base orthonormée.

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, compléter $(e_1, e_2)$ avec $e_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0)$ et $e_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0)$ en base orthonormée.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, compléter $(e_1) = (\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0))$ en base orthonormée.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, appliquer Gram-Schmidt à la famille libre $(v_1, v_2, v_3) = ((1, 1, 1),\ (1, 0, 0),\ (0, 1, 0))$ pour obtenir une base orthonormée.

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