Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ? | MetMat

Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ?

En prenant une base orthonormée du supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$

Compléter une base orthonormée d'un sous-espace $F$ en base orthonormée de $E$ via une base orthonormée de $F^{\perp}$ .

L'objectif

Compléter une base orthonormée d'un sous-espace $F$ en base orthonormée de $E$ via une base orthonormée de $F^{\perp}$ .

Le principe

Dans un espace euclidien, $E = F \oplus F^{\perp}$ ; la concaténation de bases orthonormées de $F$ et de $F^{\perp}$ est une base orthonormée de $E$ .

La méthode

1
Je pose $F = \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_k)$ , famille orthonormée déjà donnée, et je note $F^{\perp}$ son supplémentaire orthogonal.
2
Je détermine $F^{\perp}$ en résolvant le système $\langle x, e_i \rangle = 0$ pour tout $i \in \{1,\ldots,k\}$ .
3
Je construis une base orthonormée $(e_{k+1},\ldots,e_n)$ de $F^{\perp}$ (orthonormalisation si la base obtenue n'est pas déjà orthonormée).
4
Je concatène : $(e_1,\ldots,e_k,e_{k+1},\ldots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$ .

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, compléter $(e_1) = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ en base orthonormée via $F^{\perp}$ .

Étape 1 —

Je pose

F = \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_k)

, famille orthonormée déjà donnée, et je note

F^{\perp}

son supplémentaire orthogonal.

Je pose $F = \mathrm{Vect}(e_1)$ , sous-espace de dimension $1$ .

Étape 2 —

Je détermine

F^{\perp}

en résolvant le système

\langle x, e_i \rangle = 0

pour tout

i \in \{1,\ldots,k\}

$F^{\perp} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y+z = 0\}$ , plan de dimension $2$ , engendré par $u_1 = (1,-1,0)$ et $u_2 = (1,1,-2)$ (orthogonaux entre eux car $\langle u_1, u_2\rangle = 0$ ).

Étape 3 —

Je construis une base orthonormée

(e_{k+1},\ldots,e_n)

F^{\perp}

(orthonormalisation si la base obtenue n'est pas déjà orthonormée).

$\|u_1\| = \sqrt{2}$ , $\|u_2\| = \sqrt{6}$ , je pose $e_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ et $e_3 = \tfrac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ : base orthonormée de $F^{\perp}$ .

Étape 4 —

Je concatène :

(e_1,\ldots,e_k,e_{k+1},\ldots,e_n)

est une base orthonormée de

E

$(e_1, e_2, e_3)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ .

$e_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ , $e_3 = \tfrac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, compléter $(e_1) = \tfrac{1}{2}(1,1,1,1)$ en base orthonormée via $F^{\perp}$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, compléter $(e_1, e_2) = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1), \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)\right)$ en base orthonormée via $F^{\perp}$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, compléter $(e'_1, e'_2) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)\right)$ en base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, compléter $(e'_1) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1, 0)$ en base orthonormée de $\mathbb{R}^4$ .

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En prenant une base orthonormée du supplémentaire orthogonal F⊥F^{\perp}F⊥

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En prenant une base orthonormée du supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$