Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ? | MetMat

Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?

En utilisant $\|x\|^2 = {}^t\!XX$ en base orthonormée

Calculer la norme euclidienne $\|x\|$ à partir de la colonne coordonnée $X$ dans une base orthonormée.

L'objectif

Calculer la norme euclidienne $\|x\|$ à partir de la colonne coordonnée $X$ dans une base orthonormée.

Le principe

Si $\mathcal{B}$ est orthonormée et $X$ la colonne coordonnée de $x$ dans $\mathcal{B}$ , alors $\|x\|^2 = {}^t\!X X = \sum_{i=1}^n X_i^2$ , ce qui traduit Parseval sous forme matricielle.

La méthode

1
Je vérifie que la base $\mathcal{B}$ dans laquelle $x$ est exprimé est orthonormée.
2
J'écris la colonne coordonnée $X$ de $x$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je calcule $\|x\|^2 = {}^t\!XX = \sum_{i=1}^n X_i^2$ , puis $\|x\| = \sqrt{{}^t\!XX}$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, calculer $\|x\|$ pour $x = (2,-1,2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la base

\mathcal{B}

dans laquelle

x

est exprimé est orthonormée.

La base canonique est orthonormée.

Étape 2 —

J'écris la colonne coordonnée

X

x

dans

\mathcal{B}

La colonne coordonnée est $X = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\|x\|^2 = {}^t\!XX = \sum_{i=1}^n X_i^2

, puis

\|x\| = \sqrt{{}^t\!XX}

et je conclus.

Donc $\|x\|^2 = {}^t\!XX = 4+1+4 = 9$ , d'où $\|x\| = 3$ .

$\|x\| = 3$ .

Application guidée

Soit $E$ euclidien de dimension $3$ , $\mathcal{B} = (e_1,e_2,e_3)$ orthonormée, $x = e_1 - 2e_2 + 2e_3$ . Calculer $\|x\|$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0),\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0),\ (0, 0, 1)\right)$ une base orthonormée. Calculer $\|x\|$ pour $x$ de coordonnées $(3, -2, 1)$ dans $\mathcal{B}'$ .

Application autonome 2

Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique et $x = (1, -2, 2)$ . Calculer $\|x\|$ en utilisant $\|x\|^2 = {}^t\!X X$ .

Application autonome 3

Soit $(e_1, e_2)$ base orthonormée de $\mathbb{R}^2$ et $x$ de matrice $X = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ dans cette base. Calculer $\|x\|$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant ∥x∥2=t ⁣XX\|x\|^2 = {}^t\!XX∥x∥2=tXX en base orthonormée

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\|x\|^2 = {}^t\!XX$ en base orthonormée