En résolvant le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ de matrice de passage

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(e'_1,e'_2\right) = \left(\frac{1}{\sqrt 2}(1,1),\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)\right)$. Déterminer les coordonnées de $x=(3,1)$ dans $\mathcal{B}'$ par résolution du système.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(\frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0),\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1,0),(0,0,1)\right)$. Déterminer les coordonnées de $x = (2,0,5)$ dans $\mathcal{B}'$.

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soit $\mathcal{B}'$ la base orthonormée de rotation $e'_1 = (\cos\theta,\sin\theta)$, $e'_2 = (-\sin\theta,\cos\theta)$. Trouver les coordonnées de $x=(1,0)$ dans $\mathcal{B}'$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\ \tfrac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\right)$ orthonormée. Déterminer les coordonnées de $x = (3, 0, 0)$ dans $\mathcal{B}'$.

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1),\ \tfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)\right)$. Déterminer les coordonnées de $x = (4, 3)$ dans $\mathcal{B}'$.