En utilisant $x = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_i$ pour lire les coordonnées et $\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2$

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, on pose $e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$ et $e_2 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$. Déterminer les coordonnées de $x = (3,1)$ dans $\mathcal{B} = (e_1,e_2)$ ainsi que $\|x\|$.

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, on considère la base orthonormée $\mathcal{B} = \left(\frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1),\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1,0),\frac{1}{\sqrt 6}(1,1,-2)\right)$. Déterminer les coordonnées de $x=(1,2,3)$ dans $\mathcal{B}$.

Dans $\mathbb{R}_1[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle = \int_0^1 PQ$, on admet que $(e_1,e_2) = (1,\sqrt 3(2X-1))$ est orthonormée. Calculer les coordonnées et la norme de $P(X) = X$.

Soit $(e_1, e_2, e_3)$ base orthonormée de $E$ et $x \in E$ avec $\langle x, e_1 \rangle = 2$, $\langle x, e_2 \rangle = -1$, $\langle x, e_3 \rangle = 0$. Exprimer $x$ et calculer $\|x\|^2$.

Dans un espace euclidien $E$ de dimension $n$ muni d'une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$, montrer que pour tous $x, y \in E$ : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle y, e_i \rangle$.