Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ? | MetMat

Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?

En écrivant $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ puis en prenant le produit scalaire avec chaque $e_j$

Montrer qu'une famille orthogonale $(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs non nuls est libre, résultat classique du cours.

L'objectif

Montrer qu'une famille orthogonale $(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs non nuls est libre, résultat classique du cours.

Le principe

Si $(e_1,\dots,e_p)$ est orthogonale et si aucun $e_i$ n'est nul, alors toute relation $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ entraîne $\alpha_j = 0$ pour tout $j$ , en utilisant $\langle e_i,e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ et $\langle e_j,e_j\rangle = \|e_j\|^2 > 0$ .

La méthode

1
Je suppose une combinaison linéaire nulle $\sum_{i=1}^p \alpha_i e_i = 0$ et je souhaite montrer $\alpha_j = 0$ pour tout $j$ .
2
Je prends le produit scalaire avec $e_j$ : $\left\langle \sum_i \alpha_i e_i, e_j\right\rangle = \sum_i \alpha_i \langle e_i,e_j\rangle = \alpha_j \|e_j\|^2$ par orthogonalité.
3
Comme $e_j\neq 0$ , on a $\|e_j\|^2 > 0$ , donc $\alpha_j \|e_j\|^2 = 0$ implique $\alpha_j = 0$ ; la famille est libre.

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, montrer que $(e_1,e_2,e_3) = ((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,2))$ est libre en exploitant son orthogonalité.

Étape 1 —

Je suppose une combinaison linéaire nulle

\sum_{i=1}^p \alpha_i e_i = 0

et je souhaite montrer

\alpha_j = 0

pour tout

j

Je suppose $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0$ et je cherche à montrer $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ .

Étape 2 —

Je prends le produit scalaire avec

e_j

\left\langle \sum_i \alpha_i e_i, e_j\right\rangle = \sum_i \alpha_i \langle e_i,e_j\rangle = \alpha_j \|e_j\|^2

par orthogonalité.

Je calcule $\langle e_i,e_j\rangle$ pour $i\neq j$ : ils valent tous $0$ (famille orthogonale), et $\|e_1\|^2=2,\|e_2\|^2=2,\|e_3\|^2=4$ . En prenant le produit scalaire avec $e_1$ , on obtient $\alpha_1\|e_1\|^2 = 2\alpha_1 = 0$ .

Étape 3 —

Comme

e_j\neq 0

, on a

\|e_j\|^2 > 0

, donc

\alpha_j \|e_j\|^2 = 0

implique

\alpha_j = 0

; la famille est libre.

De même, $\alpha_2\cdot 2 = 0$ et $\alpha_3\cdot 4 = 0$ , donc $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ : la famille est libre.

La famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.

Application guidée

Soit $(u_1,\dots,u_p)$ une famille orthogonale de vecteurs non nuls d'un espace euclidien $E$ . Montrer directement qu'elle est libre.

Application autonome 1

Dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\langle f,g\rangle = \int_0^1 fg$ , on pose $f_n(t) = \cos(n\pi t)$ pour $n\geq 1$ . On admet que $(f_1,f_2,f_3)$ est orthogonale et de vecteurs non nuls. Montrer qu'elle est libre.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, montrer que $(u_1, u_2, u_3) = ((1, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))$ est libre en exploitant son orthogonalité.

Application autonome 3

Sur $\mathcal{C}([0, \pi], \mathbb{R})$ muni de $\langle f, g\rangle = \int_0^\pi f g$ , montrer que la famille $(\sin(n t))_{n \geq 1}$ est libre en utilisant son orthogonalité.

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En écrivant ∑iαiei=0\sum_i \alpha_i e_i = 0∑i​αi​ei​=0 puis en prenant le produit scalaire avec chaque eje_jej​

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En écrivant $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ puis en prenant le produit scalaire avec chaque $e_j$