En vérifiant $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ puis $\|e_i\| = 1$

Établir qu'une famille $(e_1,\dots,e_p)$ d'un espace euclidien est orthogonale puis orthonormale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On munit $\mathbb{R}^2$ de son produit scalaire canonique. Montrer que la famille $\left(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right)$ est orthonormale.

L'objectif

Établir qu'une famille $(e_1,\dots,e_p)$ d'un espace euclidien est orthogonale puis orthonormale.

Le principe

Une famille $(e_1,\dots,e_p)$ est orthogonale ssi $\langle e_i,e_j\rangle = 0$ pour tous $i\neq j$ , et orthonormale ssi elle est orthogonale et $\|e_i\|=1$ pour tout $i$ .

La méthode

1
J'identifie clairement les vecteurs $e_1,\dots,e_p$ ainsi que le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ utilisé.
2
Pour chaque paire $i<j$ , je calcule $\langle e_i,e_j\rangle$ et je vérifie que le résultat vaut $0$ , ce qui donne l'orthogonalité.
3
Pour chaque $i$ , je calcule $\|e_i\|^2 = \langle e_i,e_i\rangle$ et je vérifie que $\|e_i\| = 1$ ; je conclus que la famille est orthonormale.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

On munit $\mathbb{R}^2$ de son produit scalaire canonique. Montrer que la famille $\left(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right)$ est orthonormale.

Étape 1 —

J'identifie clairement les vecteurs

e_1,\dots,e_p

ainsi que le produit scalaire

\langle\cdot,\cdot\rangle

utilisé.

Les vecteurs $e_1,e_2\in\mathbb{R}^2$ sont donnés, et on utilise le produit scalaire canonique $\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2$ .

Étape 2 —

Pour chaque paire

i<j

, je calcule

\langle e_i,e_j\rangle

et je vérifie que le résultat vaut

0

, ce qui donne l'orthogonalité.

Je calcule $\langle e_1,e_2\rangle = \frac{1}{2}(1\cdot 1 + 1\cdot(-1)) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$ , donc $e_1\perp e_2$ .

Étape 3 —

Pour chaque

i

, je calcule

\|e_i\|^2 = \langle e_i,e_i\rangle

et je vérifie que

\|e_i\| = 1

; je conclus que la famille est orthonormale.

Je calcule $\|e_1\|^2 = \frac{1}{2}(1+1) = 1$ et $\|e_2\|^2 = \frac{1}{2}(1+1) = 1$ , donc $\|e_1\|=\|e_2\|=1$ : la famille est orthonormale.

La famille $(e_1,e_2)$ est orthonormale pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\ \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\right)$ est orthonormale.

Application autonome 1

Sur $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ , vérifier que $P_0 = 1$ et $P_1 = \sqrt{3}(2X-1)$ sont orthogonaux et de norme $1$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, vérifier que $\mathcal{B}' = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0),\ \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0),\ (0, 0, 1)\right)$ est orthonormée.

Application autonome 3

Sur $\mathbb{R}_1[X]$ muni de $\langle P, Q\rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t)\,\mathrm{d}t$ , vérifier que $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \sqrt{\dfrac{3}{2}}\, X\right)$ est orthonormée.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant ⟨ei,ej⟩=0\langle e_i, e_j\rangle = 0⟨ei​,ej​⟩=0 pour i≠ji\neq ji=j puis ∥ei∥=1\|e_i\| = 1∥ei​∥=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ puis $\|e_i\| = 1$