En vérifiant $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ puis $\|e_i\| = 1$

On munit $\mathbb{R}^2$ de son produit scalaire canonique. Montrer que la famille $\left(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right)$ est orthonormale.

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\ \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\right)$ est orthonormale.

Sur $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$, vérifier que $P_0 = 1$ et $P_1 = \sqrt{3}(2X-1)$ sont orthogonaux et de norme $1$.

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, vérifier que $\mathcal{B}' = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0),\ \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0),\ (0, 0, 1)\right)$ est orthonormée.

Sur $\mathbb{R}_1[X]$ muni de $\langle P, Q\rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t)\,\mathrm{d}t$, vérifier que $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \sqrt{\dfrac{3}{2}}\, X\right)$ est orthonormée.