Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ? | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ?

En écrivant $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ pour majorer un produit scalaire

Majorer un produit scalaire $\langle x, y \rangle$ (ou une expression faisant intervenir ce produit) par le produit des normes de $x$ et $y$ .

L'objectif

Majorer un produit scalaire $\langle x, y \rangle$ (ou une expression faisant intervenir ce produit) par le produit des normes de $x$ et $y$ .

Le principe

Dans un espace préhilbertien réel $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ , pour tous $x, y \in E$ , on a $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ (inégalité de Cauchy-Schwarz), avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

La méthode

1
Je vérifie que je travaille dans un espace muni d'un produit scalaire et que $x, y$ appartiennent à cet espace.
2
Je calcule (ou j'estime) les normes $\|x\|$ et $\|y\|$ .
3
J'applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ .
4
Je conclus sur l'encadrement ou la majoration demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ . Montrer que $\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leq n \sum_{k=1}^n a_k^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que je travaille dans un espace muni d'un produit scalaire et que

x, y

appartiennent à cet espace.

On se place dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique. On pose $x = (a_1, \ldots, a_n)$ et $y = (1, \ldots, 1)$ .

Étape 2 —

Je calcule (ou j'estime) les normes

\|x\|

\|y\|

$\|x\| = \sqrt{\sum a_k^2}$ et $\|y\| = \sqrt{n}$ .

Étape 3 —

J'applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|

$\langle x, y \rangle = \sum a_k \cdot 1 = \sum a_k$ . Par Cauchy-Schwarz, $\left| \sum a_k \right| \leq \sqrt{\sum a_k^2} \cdot \sqrt{n}$ .

Étape 4 —

Je conclus sur l'encadrement ou la majoration demandée.

En élevant au carré : $\left( \sum a_k \right)^2 \leq n \sum a_k^2$ .

$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leq n \sum_{k=1}^n a_k^2$ .

Application guidée

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que $\left( \int_0^1 f(t) \mathrm{d}t \right)^2 \leq \int_0^1 f(t)^2 \mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$ . Montrer que $E(X)^2 \leq E(X^2)$ .

Application autonome 2

Soient $x, y \in \mathbb{R}^n$ avec $\|x\| = 3$ et $\|y\| = 2$ . Majorer $|\langle x, y\rangle|$ .

Application autonome 3

Soient $f, g \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ . Montrer que $\left|\int_0^1 f(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t\right| \leq \sqrt{\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t}\,\sqrt{\int_0^1 g(t)^2\,\mathrm{d}t}$ .

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En écrivant ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥ pour majorer un produit scalaire

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ pour majorer un produit scalaire