Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ?
Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).
Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).
Pour dans un espace euclidien, on a si et seulement si et sont colinéaires (i.e. il existe tel que , ou ).
Dans muni du produit scalaire canonique, étudier le cas d'égalité dans .
Avec et , l'égalité équivaut à .
Par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, cela équivaut à la colinéarité de et .
Il existe alors tel que , soit pour tout : les sont tous égaux.
Il y a égalité si et seulement si .
Égalité si et seulement si .
Soit une variable aléatoire de carré intégrable telle que . Que peut-on en déduire ?
Dans canonique, on a avec et de norme . Déterminer .
Dans canonique, on a avec et de norme . Déterminer .
Soient deux vecteurs d'un espace euclidien avec , et . Montrer que et sont colinéaires et préciser la relation.
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