Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ? | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ?

En identifiant le cas d'égalité par colinéarité

Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).

L'objectif

Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).

Le principe

Pour $x, y$ dans un espace euclidien, on a $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (i.e. il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $y = \lambda x$ , ou $x = 0$ ).

La méthode

1
Je suppose (ou je constate) l'égalité $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ .
2
J'applique le résultat du cours : l'égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à la colinéarité de $x$ et $y$ .
3
Je traduis la colinéarité : il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $y = \lambda x$ (en supposant $x \neq 0$ ).
4
Je détermine $\lambda$ à partir des données (par exemple en identifiant une coordonnée ou en comparant les normes) et je conclus.

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, étudier le cas d'égalité dans $\left( \sum a_k \right)^2 \leq n \sum a_k^2$ .

Étape 1 —

Je suppose (ou je constate) l'égalité

|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|

Avec $x = (a_1, \ldots, a_n)$ et $y = (1, \ldots, 1)$ , l'égalité $\left( \sum a_k \right)^2 = n \sum a_k^2$ équivaut à $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ .

Étape 2 —

J'applique le résultat du cours : l'égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à la colinéarité de

x

y

Par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, cela équivaut à la colinéarité de $x$ et $y$ .

Étape 3 —

Je traduis la colinéarité : il existe

\lambda \in \mathbb{R}

tel que

y = \lambda x

(en supposant

x \neq 0

Il existe alors $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $x = \lambda y$ , soit $a_k = \lambda$ pour tout $k$ : les $a_k$ sont tous égaux.

Étape 4 —

Je détermine

\lambda

à partir des données (par exemple en identifiant une coordonnée ou en comparant les normes) et je conclus.

Il y a égalité si et seulement si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Égalité si et seulement si $a_1 = \cdots = a_n$ .

Application guidée

Soit $X$ une variable aléatoire de carré intégrable telle que $E(X)^2 = E(X^2)$ . Que peut-on en déduire ?

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, on a $\langle x, y \rangle = \|x\| \|y\|$ avec $x = (1, 2, 2)$ et $y = (a, b, c)$ de norme $6$ . Déterminer $y$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, on a $\langle x, y \rangle = \|x\| \|y\|$ avec $x = (1, 1, 1)$ et $y$ de norme $\sqrt{12}$ . Déterminer $y$ .

Application autonome 3

Soient $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien avec $\|x\| = 2$ , $\|y\| = 3$ et $\langle x, y \rangle = -6$ . Montrer que $x$ et $y$ sont colinéaires et préciser la relation.

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