Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ? | MetMat

Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?

En montrant $\langle x, y \rangle = 0$ par calcul direct

L'objectif

Prouver que deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace euclidien sont orthogonaux.

Le principe

Deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ sont orthogonaux, noté $x \perp y$ , si et seulement si $\langle x, y \rangle = 0$ .

La méthode

1
Je rappelle l'expression du produit scalaire utilisé sur $E$ .
2
Je calcule $\langle x, y \rangle$ à partir des données explicites des deux vecteurs.
3
Je simplifie l'expression obtenue.
4
Je constate que $\langle x, y \rangle = 0$ et je conclus que $x \perp y$ .

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Application guidée 1

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $x = (1, 2, 1)$ et $y = (3, -1, -1)$ sont orthogonaux.

Application guidée 2

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d}t$ , montrer que $P = 1$ et $Q = X$ sont orthogonaux.

Application autonome 1

Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ muni de $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ , montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, montrer que $x = (1, 2, -1, 0)$ et $y = (2, 0, 2, 3)$ sont orthogonaux.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t) Q(t)\,\mathrm{d}t$ , montrer que $P = 2X - 1$ et $Q = 1$ sont orthogonaux.

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En montrant ⟨x,y⟩=0\langle x, y \rangle = 0⟨x,y⟩=0 par calcul direct

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En montrant $\langle x, y \rangle = 0$ par calcul direct