Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ? | MetMat

Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?

En montrant $\langle x, y \rangle = 0$ par calcul direct

Prouver que deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace euclidien sont orthogonaux.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $x = (1, 2, 1)$ et $y = (3, -1, -1)$ sont orthogonaux.

L'objectif

Prouver que deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace euclidien sont orthogonaux.

Le principe

Deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ sont orthogonaux, noté $x \perp y$ , si et seulement si $\langle x, y \rangle = 0$ .

La méthode

1
Je rappelle l'expression du produit scalaire utilisé sur $E$ .
2
Je calcule $\langle x, y \rangle$ à partir des données explicites des deux vecteurs.
3
Je simplifie l'expression obtenue.
4
Je constate que $\langle x, y \rangle = 0$ et je conclus que $x \perp y$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, montrer que $x = (1, 2, 1)$ et $y = (3, -1, -1)$ sont orthogonaux.

Étape 1 —

Je rappelle l'expression du produit scalaire utilisé sur

E

Produit scalaire canonique : $\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$ .

Étape 2 —

Je calcule

\langle x, y \rangle

à partir des données explicites des deux vecteurs.

$\langle x, y \rangle = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + 1 \times (-1) = 3 - 2 - 1$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue.

$\langle x, y \rangle = 0$ .

Étape 4 —

Je constate que

\langle x, y \rangle = 0

et je conclus que

x \perp y

Donc $x \perp y$ .

$x$ et $y$ sont orthogonaux.

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d}t$ , montrer que $P = 1$ et $Q = X$ sont orthogonaux.

Application autonome 1

Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ muni de $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ , montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^4$ canonique, montrer que $x = (1, 2, -1, 0)$ et $y = (2, 0, 2, 3)$ sont orthogonaux.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t) Q(t)\,\mathrm{d}t$ , montrer que $P = 2X - 1$ et $Q = 1$ sont orthogonaux.

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En montrant ⟨x,y⟩=0\langle x, y \rangle = 0⟨x,y⟩=0 par calcul direct

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En montrant $\langle x, y \rangle = 0$ par calcul direct